数学I / 実数と1次不等式

1次不等式の文章題(個数と金額の条件)

★★★ 応用文章題連立不等式

問題

1個 $180$ 円のりんごと1個 $90$ 円のみかんを合わせて $20$ 個買う。りんごの個数はみかんの個数以上とし、合計金額は $2900$ 円以下にしたい。

(1) 買うことのできるりんごの個数をすべて求めよ。

(2) 合計金額が最も高くなるのは、りんごを何個買うときか。また、そのときの合計金額を求めよ。

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りんご $x$ 、みかん $(20 - x)$ 。条件は2つ — 『 $x \geq$ みかんの個数』と『合計金額 $\leq 2900$ 』。両方を満たす $x$ の整数範囲を出す。合計金額は $x$ が大きいほど高いか安いか、を見て(2)を判断。

解答・解説

りんごを $x$ 個とすると、みかんは $(20 - x)$ 個。条件は2つ — 『りんご ≥ みかん』と『合計 ≤ 2900円』。

この2つを不等式にして、両方を満たす $x$ の範囲を求める。 $x$ は整数。(2)は合計金額を $x$ の式にして、その中で最大を探す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件が $2$ つある。個数の大小と、金額の上限だ。

だから不等式も $2$ 本立てる。連立不等式の文章題だと見抜くことが第一歩。

あとは共通範囲の中の整数を、端に注意して拾う。

りんごを $x$ 個買うとすると、みかんは $(20 - x)$ 個。

(1) 条件は2つ。まず『りんご ≥ みかん』から

$x \geq 20 - x$

これを解くと $2 x \geq 20$ 、 $x \geq 10$ 。次に合計金額を計算する。

$180 x + 90 (20 - x) = 180 x + 1800 - 90 x = 90 x + 1800$

『合計 ≤ 2900円』から

$90 x + 1800 \leq 2900$

これを解くと $90 x \leq 1100$ 、 $x \leq 12.2 \dots$ 。 $x$ は整数なので $x \leq 12$ 。

2つの条件 $x \geq 10$ と $x \leq 12$ を合わせて、 $10 \leq x \leq 12$ 。 $x$ は整数だから

$x = 10, 11, 12$

2条件の共通範囲は 10≦x≦12。整数解は 10・11・12

よって買えるりんごの個数は10個、11個、12個。

(2) 合計金額は $90 x + 1800$ で、 $x$ が大きいほど高くなる。だから、買える最大の $x = 12$ のとき最も高い。

$90 \times 12 + 1800 = 1080 + 1800 = 2880$

よって、りんごを12個買うとき合計金額が最も高く、2880円。

まとめ:条件が2つある文章題は、それぞれを不等式にして共通範囲をとる。(2)は金額の式が $x$ の1次式なので、範囲の端で最大・最小になる。

発展 — 一歩先へ。 合計金額 $90 x + 1800$ は $x$ の $1$ 次式で、許される範囲の端で最大になった。これは線形計画法という考え方の $1$ 変数版だ。

変数が $2$ つ、たとえばりんご $x$ 個とみかん $y$ 個を別々に選べる問題になると、条件は座標平面上の領域になる。そして金額 $180 x + 90 y$ を最大にする点は、その領域の「かど(頂点)」に現れる。

$1$ 次式は端や頂点で最大・最小をとる。この性質が、生産計画や予算配分の最適化を数式で解く土台になっている。

答

(1) $10$ 個、 $11$ 個、 $12$ 個 (2) りんごを $12$ 個買うとき、合計金額 $2880$ 円

別解 — 個数を $1$ つずつ試して確かめる(苦手な人向けの具体ルート)。 不等式を立てるのが不安なら、りんごの個数を小さい方から順に試す。合計 $20$ 個だから、みかんは $20 -$ (りんごの個数)で決まる。

りんご $9$ 、みかん $11$ :りんごの方が少なく「りんご $\geq$ みかん」を満たさない。合計は $180 \times 9 + 90 \times 11 = 2610$ 円だが個数条件で不可。
りんご $10$ 、みかん $10$ :条件を満たす。合計 $180 \times 10 + 90 \times 10 = 2700$ 円。
りんご $11$ 、みかん $9$ :合計 $180 \times 11 + 90 \times 9 = 2790$ 円。
りんご $12$ 、みかん $8$ :合計 $180 \times 12 + 90 \times 8 = 2880$ 円。
りんご $13$ 、みかん $7$ :合計 $180 \times 13 + 90 \times 7 = 2970$ 円で $2900$ 円を超える。不可。

下に外れるのは個数( $9$ 個ではりんごが少ない)、上に外れるのは金額( $13$ 個で $2970$ 円)。両方を満たすのは $10, 11, 12$ 個だ。

合計は個数が多いほど高いので、最大は $12$ 個のときの $2880$ 円。書き出すと、どこで外れるかが目に見える。本解と同じ結論に至る。