√n の小数部分と 1/2

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{n}$ の小数部分は $\sqrt{n}-k$ だ。「$\frac{1}{2}$ との大小」を、根号のない世界に翻訳したい。両辺が正だから2乗できる:

$$\sqrt{n}-k<\frac{1}{2}⟺\sqrt{n}<k+\frac{1}{2}⟺n<k^2+k+\frac{1}{4}$$

ここが急所だ。$n$ は整数だから、端数 $\frac{1}{4}$ は切り捨てられる。条件は $n\le k^2+k$ と同値になる。

しかも境界 $k^2+k+\frac{1}{4}$ が整数でないこと、それ自体が(1)の答えでもある。1本の不等式の翻訳が、2つの小問を同時に片づける。

① (1) を示す。 小数部分がちょうど $\frac{1}{2}$ なら $\sqrt{n}=k+\frac{1}{2}$。両辺を2乗して

$$n=k^2+k+\frac{1}{4}$$

右辺は整数でない。整数 $n$ がこれに等しくなることはない。

② 条件を整数の形に翻訳する。 $k^2<n<(k+1{)}^2$ の $n$ について

$$\sqrt{n}-k<\frac{1}{2}⟺n<k^2+k+\frac{1}{4}⟺n\le k^2+k$$

最後の同値は、$n$ が整数であることによる。

③ (2) 数える。 範囲は $k^2+1\le n\le k^2+2k$。このうち②を満たすのは $k^2+1\le n\le k^2+k$ の、ちょうど $k$ 個だ。

残りの $k^2+k+1\le n\le k^2+2k$ の $k$ 個は、小数部分が $\frac{1}{2}$ より大きい。(1)より「ちょうど $\frac{1}{2}$」はないから、$2k$ 個は2つのグループに完全に分かれる。

まとめ: 「根号の大小は2乗で整数の世界へ」+「整数だから端数を切り捨てる」の2手。境界 $k^2+k+\frac{1}{4}$ が整数の隙間に落ちるおかげで、$2k$ 個が $k$ 個ずつぴったり半分に割れる。平方数の間で $\sqrt{n}$ の小数部分が「前半に $k$ 個・後半に $k$ 個」と律儀に並ぶ風景まで見えれば完答だ。

別解

グラフで見る(直感ルート)。 $y=\sqrt{x}$ のグラフに、高さ $k+\frac{1}{2}$ の水平線を引いてみる。

$\sqrt{n}$ の小数部分が $\frac{1}{2}$ より小さいとは、点 $(n,\sqrt{n})$ がこの水平線より下にあることだ。$y=\sqrt{x}$ は増加だから、「$\sqrt{n}$ と $k+\frac{1}{2}$ の大小」は「$n$ と ${\left(k+\frac{1}{2}\right)}^2=k^2+k+\frac{1}{4}$ の大小」とまったく同じ。増加関数を通しても、大小関係は変わらない。

あとは、水平線との交点 $x=k^2+k+\frac{1}{4}$ より左にある整数を数えるだけ。$k^2+1$ から $k^2+k$ までの $k$ 個だ。交点の $x$ 座標が整数でない(どの $n$ も線上に乗らない)ことが、(1)に当たる。

不等式の変形が苦手でも、この1枚の絵なら「なぜ半々に割れるか」が目で分かる。