1次不等式の解法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1$ 次不等式は、方程式とほとんど同じように解ける — 文字を左、数を右に集め、最後に $x$ の係数で割る。

ただしたった $1$ つだけ違うルールがある。

負の数で割る(かける)ときは、不等号の向きが逆になる。

ここが方程式との唯一の違いで、最大のミスどころ。(3)は係数が負になるので、この反転が起きる — 割る瞬間に「今、負で割ったか?」と自問する習慣をつけたい。

(1) 文字を左、数を右に集める。

$$\begin{array}{rl}4x-7& <x+8\\ 4x-x& <8+7\\ 3x& <15\\ x& <5\end{array}$$

$x$ の係数3は正なので、割っても不等号はそのまま。

(2) カッコを外して整理する。

$$\begin{array}{rl}2(x-3)& \le 5x+9\\ 2x-6& \le 5x+9\\ 2x-5x& \le 9+6\\ -3x& \le 15\end{array}$$

ここで $-3$(負)で割るので、不等号の向きが逆になる。

$$x\ge -5$$

(3) 小数があるので、まず両辺を10倍して整数にする。

$$\begin{array}{rl}2x-5& >7x+10\\ 2x-7x& >10+5\\ -5x& >15\end{array}$$

$-5$(負)で割るので向きが逆になり

$$x<-3$$

(4) 分数があるので、両辺に分母をはらう(15倍して整数に)。

$$\begin{array}{rl}5(x+2)& \ge 3(3x-2)\\ 5x+10& \ge 9x-6\\ 5x-9x& \ge -6-10\\ -4x& \ge -16\end{array}$$

$-4$(負)で割って向きが逆になり

$$x\le 4$$

『負で割ると不等号が逆』— これだけは絶対に忘れないこと。

発展 — 一歩先へ。 検算は境界と内側の $2$ 点で。(1)の答え $x<5$ なら、境界 $x=5$ で両辺が等しくなるか($4\cdot 5-7=13$、$5+8=13$ ✓)、内側の $x=4$ で不等式が成り立つか($9<12$ ✓)、外側の $x=6$ で成り立たないか($17<14$ ✗)を確かめる。$3$ 点チェックで、向きの間違いは確実に捕まる。

移項(足し引き)では反転しない、というのも大事な非対称だ。$a<b$ の両辺に何を足しても大小は変わらない(数直線を平行移動するだけ)。反転するのは「かける・割る」で負を使うときだけ — 操作ごとに何が起きるかを区別できれば、不等式は方程式と同じ気楽さで扱える。

別解

不等号が反転する理由を、数直線の絵で $1$ 度だけ納得しておこう。二度と迷わなくなる。

$2<5$ は明らかに正しい。両辺に $-1$ をかけると $-2$ と $-5$ になる。数直線で見ると、$-5$ は $-2$ より左にある — つまり $-2>-5$。

$$2<5⟹-2>-5$$

マイナスをかける $=$ 数直線を左右にひっくり返す。ひっくり返せば大小関係も逆になる — 当たり前の話だ。

反転を避ける書き方もある。(3)の $0.2x-0.5>0.7x+1$ で、$x$ を左に集めると $-0.5x>1.5$(負の係数)になる。ここで反転が必要だ。

だが $x$ を右に集めれば

$$-0.5-1>0.7x-0.2x⟹-1.5>0.5x⟹-3>x$$

正の $0.5$ で割るので反転しない — 答えは $x<-3$(左右を読み替えるだけ)。

「$x$ の係数が正になる側へ集める」— 反転のルールを使わずに済ませる、実戦的な回避術である。