分母の有理化と根号の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 有理化の道具選びは、分母の形で決まる。

根号1個なら同じものを掛ける。和や差なら、符号違いの相方を掛ける。和と差の積で根号が消えるからだ。

(3)は2つの分数の和。それぞれ有理化してから足すか、先に通分してまとめて有理化するか。どちらでも解けるので、計算量を見比べて道を選ぶ。

(1) 分母に $\sqrt{3}$ があるので、上下に $\sqrt{3}$ をかける。

$$\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

(2) 分母が $\sqrt{7}-\sqrt{5}$。符号を変えた $\sqrt{7}+\sqrt{5}$ を上下にかける。

$$\frac{6}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{6(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{6(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5}=\frac{6(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}=3\sqrt{7}+3\sqrt{5}$$

(3) 2つの分数を、それぞれ有理化する。

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3-\sqrt{3}}{3-1}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$$

足すと、$-\sqrt{3}$ と $+\sqrt{3}$ が消える。

$$\frac{3-\sqrt{3}}{2}+\frac{3+\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{2}=3$$

発展 — 一歩先へ。 「符号違いの相方を掛けて根号を消す」発想は、この先2回大きく再登場する。

1つは数学IIの複素数で、$a+bi$ の相方 $a-bi$(共役複素数)を掛けて分母を実数にする。もう1つは数学IIIの極限で、$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 型の式を相方掛けで変形する。どれも「分母(や差)を有理数の世界に引き戻す」という同じ目的だ。

別解

(3)は計算の前に、形から結果を予言できる。2つの分数は、分母が $\sqrt{3}+1$ と $\sqrt{3}-1$ で符号違いの相方どうし。この対称な形の和では、根号の項が必ず打ち消し合い、答えは有理数になる。

実際の計算は、先に通分してまとめて有理化してもよい。

$$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)+\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{(3-\sqrt{3})+(3+\sqrt{3})}{2}=\frac{6}{2}=3$$

分母が $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$ と一度で有理化でき、こちらのほうが速いこともある。予言どおり、分子でも $-\sqrt{3}$ と $+\sqrt{3}$ が消えている。