数学I / 実数と1次不等式

整数部分・小数部分と式の値

★★ 標準整数部分・小数部分有理化

問題

$x = \frac{2}{6 - 2}$ とする。 $x$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

(2) $b^{2} + 4 b$ の値を求めよ。

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まず有理化して $x$ を『 $+$ 整数』の形に。それを平方数ではさんで整数部分を出す。(2)は $b^{2} + 4 b = (b + 2)^{2} - 4$ と変形すると、 $b$ のがきれいに消える。

解答・解説

$x = \frac{2}{6 - 2}$ はこのままでは大きさがわからないので、まず有理化して見やすくする。すると $x = 6 + 2$ 。

あとは基礎と同じ。 $6$ が2と3の間なので、 $6 + 2$ は4と5の間 → 整数部分 $a = 4$ 、小数部分 $b = 6 - 2$ 。(2)は $(b + 2)^{2}$ を作ると根号が消える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{2}{6 - 2}$ のままでは、大きさすら分からない。まず有理化して正体を明かすのが先決だ。

有理化すると $x = 6 + 2$ 。ここで初めて「 $4$ と $5$ の間の数」と分かる。

あとは定義どおり。整数部分は $4$ 、小数部分は $x$ から $4$ を引いた残りだ。(2)は $b$ の式に $2$ を足すと根号だけになる形( $b + 2 = 6$ )に気づけると、計算が一気に軽くなる。

公式大小比較は差の符号か、有理化して形をそろえてから比べる

(1) まず $x$ を有理化して、大きさを見やすくする。

$x = \frac{2}{6 - 2} = \frac{2 ( 6 + 2 )}{( 6 - 2 ) ( 6 + 2 )} = \frac{2 ( 6 + 2 )}{6 - 4} = \frac{2 ( 6 + 2 )}{2} = 6 + 2$

$6$ は $2 < 6 < 3$ なので、 $6 + 2$ は

$4 < 6 + 2 < 5$

よって整数部分 $a = 4$ 。小数部分は

$b = x - a = (6 + 2) - 4 = 6 - 2$

(2) $b^{2} + 4 b$ は、 $(b + 2)^{2} - 4$ の形にすると根号が消しやすい( $b + 2 = 6$ になる)。

$b^{2} + 4 b = (b^{2} + 4 b + 4) - 4 = (b + 2)^{2} - 4 = (6)^{2} - 4 = 6 - 4 = 2$

x=√6+2≈4.449。整数部分 a=4、小数部分 b=x−4

まとめ: $b + 2 = (6 - 2) + 2 = 6$ となって、2乗すると根号が消える。

発展 — 一歩先へ。 小数部分 $b$ には、いつでも $0 \leq b < 1$ という不等式が付いてくる。この範囲こそが小数部分の本体で、応用問題ではこの不等式が主役になる。

整数部分は「ガウス記号」という道具に一般化され、入試の応用問題で活躍する。「有理化して正体を見る → 範囲を挟む → 引き算」という今回の3手は、その最初の型だ。

答

(1) $a = 4$ 、 $b = 6 - 2$ (2) $b^{2} + 4 b = 2$

(2)は工夫に気づけなくても、 $b^{2}$ と $4 b$ を別々に計算して足せば届く。

$b^{2} + 4 b = (6 - 2)^{2} + 4 (6 - 2) = (6 - 46 + 4) + (46 - 8) = 10 - 46 + 46 - 8 = 2$

$- 46$ と $+ 46$ が途中で消えて $2$ になる。

力ずくでも根号が消える理由は、 $b^{2} + 4 b = (b + 2)^{2} - 4$ と平方の形に直せるからだ。工夫ルートと力ずくルート、どちらでも同じ景色に着く。