整数部分・小数部分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 小数部分を「$0.64\dots$」のような近似値で書かないこと — これが最大の急所だ。

まず整数部分を挟み撃ちで確定する。$\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$、つまり $2<\sqrt{7}<3$ だから整数部分 $a=2$。

小数部分は「もとの数 $-$ 整数部分」— 式のまま $b=\sqrt{7}-2$ と書く。この正確な表現を保つから、(2)で $b^2+4b=3$ ときれいな整数が出る。近似値では $3$ にはたどり着けない。

(1) $\sqrt{7}$ がどの整数の間にあるかを調べる。$\sqrt{4}=2$、$\sqrt{9}=3$ で、$4<7<9$ だから

$$2<\sqrt{7}<3$$

よって整数部分は

$$a=2$$

小数部分は『元の数 − 整数部分』なので

$$b=\sqrt{7}-2$$

(2) $b^2+4b$ に $b=\sqrt{7}-2$ をそのまま代入すると計算が大変。そこで $b(b+4)$ と因数分解してから代入する。

$$b^2+4b=b(b+4)=(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}-2+4)=(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$$

$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$ は和と差のかけ算だ。

$$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=(\sqrt{7}{)}^2-2^2=7-4=3$$

因数分解してから代入すると、和と差のかけ算で根号が消えてラクになる。

発展 — 一歩先へ。 小数部分 $b=\sqrt{7}-2$ には、必ず $0\leqq b<1$ という性質がある($b\approx 0.646$)— 答えが出たら「$0$ と $1$ の間か」を確かめるだけで、整数部分の取り違え(挟み撃ちの失敗)が検出できる。

挟み撃ち $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$ の技術は、無理数の大きさを掴む基本手段。$\sqrt{50}$ なら $7<\sqrt{50}<8$($49<50<64$)、$\sqrt{200}$ なら $14<\sqrt{200}<15$ — 近い平方数で挟むという一手で、どんな根号の整数部分も暗算で出せる。

別解

(2)は、代入する前に $b$ の満たす方程式を作っておくと、計算が一瞬で終わる。

$b=\sqrt{7}-2$ を移項すると $b+2=\sqrt{7}$。両辺を $2$ 乗して根号を消すと

$$b^2+4b+4=7⟹b^2+4b=3$$

求める式そのものが出てきた — 代入も展開もせずに $3$ が手に入る。

種明かしはこうだ。$b$ は $2$ 次方程式 $b^2+4b-3=0$ の解 — つまり $b$ には「$b^2+4b$ は $3$」という性質が最初から備わっている。問題は、その性質をそのまま聞いていたのだ。

もちろん、力ずくで別々に計算しても答えは出る。

$$b^2=(\sqrt{7}-2{)}^2=7-4\sqrt{7}+4=11-4\sqrt{7}$$

$$4b=4(\sqrt{7}-2)=4\sqrt{7}-8$$

足すと $-4\sqrt{7}$ と $4\sqrt{7}$ が打ち消し合って

$$b^2+4b=(11-4\sqrt{7})+(4\sqrt{7}-8)=3$$

どの道でも根号は消えて $3$ になる。だが力ずくでは途中に $4\sqrt{7}$ という無理数が現れ、最後に偶然のように消える。方程式ルートなら、根号は最初の $2$ 乗で消えて二度と出てこない。

「無理数を、根号を含まない方程式の解として捉える」— この目を持つと、$b^3$ や $\frac{1}{b}$ を聞かれても $b^2=3-4b$ で次数を下げるだけで答えが出る。