数学I / 実数と1次不等式

絶対値を含む方程式・不等式(基本形)

★★ 標準絶対値不等式

問題

次の方程式・不等式を解け。

(1) $∣ x - 3∣ = 7$

(2) $∣2 x + 1∣ < 5$

(3) $∣ x - 4∣ \geq 3$

ヒントを見る

(1) $∣ A ∣ = c$ は $\pm c$ 。(2) $∣ A ∣ < c$ は間、(3) $∣ A ∣ \geq c$ は外側。 $<$ か $\geq$ かで、はさむのか外に分かれるのかを見分けてから解く。

解答・解説

3つの型を使い分ける。方程式 $∣ A ∣ = c$ は $A = \pm c$ 。不等式 $∣ A ∣ < c$ は間( $- c < A < c$ )、 $∣ A ∣ > c$ (や $\geq$ )は外( $A < - c$ または $A > c$ )。

『等号は2本、小さいは間、大きいは外』を思い出そう。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 方程式と不等式が混ざっていても、絶対値の翻訳規則は3つだけだ。

$=$ は $\pm$ の2本。 $<$ は内側(間)。 $>$ や $\geq$ は外側。

手を動かす前に、それぞれの式がどの型かをラベリングする。「等号は2本、小さいは間、大きいは外」。型さえ確定すれば、あとは1次方程式・1次不等式の作業になる。

公式

∣ A ∣ = c

(

c > 0

)

⟺

A = \pm c

(1) $∣ x - 3∣ = 7$ は $x - 3 = 7$ または $x - 3 = - 7$ 。だから $x = 10$ または $x = - 4$ 。

(2)

(2) |2x + 1| < 5 ⇔ −5 < 2x + 1 < 5 ⇔ −3 < x < 2

$∣2 x + 1∣ < 5$ は『間』の型。

$- 5 < 2 x + 1 < 5$

各辺から1を引いて

$- 6 < 2 x < 4$

各辺を2で割って

$- 3 < x < 2$

(3)

(3) |x − 4| ≥ 3 ⇔ 4 からの距離が 3 以上 ⇔ x ≤ 1 または x ≥ 7

$∣ x - 4∣ \geq 3$ は『外』の型。中身 $x - 4$ が $- 3$ 以下か、 $3$ 以上。

$x - 4 \leq - 3$ から $x \leq 1$ 。 $x - 4 \geq 3$ から $x \geq 7$ 。

よって $x \leq 1$ または $x \geq 7$ 。

『等号は2本、小さいは間、大きいは外』の使い分けが、この単元の要だ。

発展 — 一歩先へ。 「中心からの距離」という読み方は、次元を上げると図形になる。数学IIの図形と方程式では、平面上で「点からの距離が一定」が円になる。

$∣ x - a ∣ < r$ は、いわば1次元の「円の内部」だ。絶対値の不等式を距離で読む習慣は、そのまま円や領域の理解につながっていく。

答

(1) $x = 10, - 4$ (2) $- 3 < x < 2$ (3) $x \leq 1$ または $x \geq 7$

絶対値を数直線上の「距離」とみる方法もある。

$∣ x - 3∣$ は「 $x$ と $3$ の距離」。だから(1)は、距離がちょうど $7$ になる点を探せばいい。 $3$ から左右に $7$ 進んで $x = 3 \pm 7$ 、すなわち $x = 10, - 4$ 。

(3)は「 $4$ からの距離が $3$ 以上」。 $4$ から左右に $3$ 離れた $1$ と $7$ を境にして外側、つまり $x \leq 1$ または $x \geq 7$ と読み取れる。

言い換えの公式を忘れても、距離のイメージから復元できる。