整数部分・小数部分と式の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数のままでは何も始まらない。まず有理化して $a$ の正体を見えるようにする。

有理化すると $a=3+\sqrt{7}$。$\sqrt{7}$ の大きさから整数部分と小数部分が読める。

(2)は式の形に注目する。$b+2$ がちょうど根号 $\sqrt{7}$ になりそうだ。値の形に合わせて、$2$ 乗する近道を探す。

(1) $a=\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ を有理化する。

$$a=\frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7}=\frac{2(3+\sqrt{7})}{2}=3+\sqrt{7}$$

$\sqrt{7}$ は $2<\sqrt{7}<3$ なので

$$5<3+\sqrt{7}<6$$

よって整数部分は5、小数部分は

$$b=a-5=(3+\sqrt{7})-5=\sqrt{7}-2$$

(2) $b+2=\sqrt{7}$ になるので、$(b+2{)}^2$ を作る。左辺は $(b+2{)}^2=(\sqrt{7}{)}^2=7$ なので

$$b^2+4b+4=7$$

両辺から4を引いて

$$b^2+4b=3$$

(3) $\frac{1}{b}$ を有理化する。

$$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\frac{\sqrt{7}+2}{7-4}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$$

$\sqrt{7}$ が $2<\sqrt{7}<3$ なので、$\frac{\sqrt{7}+2}{3}$ の大きさは

$$\frac{4}{3}<\frac{\sqrt{7}+2}{3}<\frac{5}{3}$$

$\frac{4}{3}=1.33\dots$、$\frac{5}{3}=1.66\dots$ なので、$\frac{1}{b}$ は1と2の間 → 整数部分は1。小数部分は元の数から1を引いて

$$\frac{\sqrt{7}+2}{3}-1=\frac{\sqrt{7}+2-3}{3}=\frac{\sqrt{7}-1}{3}$$

まとめ:整数部分・小数部分は『有理化して大きさを調べる → 整数部分を決める → 元の数から引く』の流れ。何度でも同じ手順で求められる。

発展 — 一歩先へ。 $b=\sqrt{7}-2$ の逆数 $\frac{1}{b}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$ が、また $\sqrt{7}$ を含む同じ顔の数になったのは偶然ではない。

$\sqrt{7}$ に対して「整数部分を引く $\to$ 逆数をとる」をくり返すと、現れる数がやがて循環する。これが $\sqrt{7}$ の連分数展開 $\sqrt{7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]$ の周期性で、$1,1,1,4$ が無限にくり返す。

$\frac{1}{b}$ がふたたび $\sqrt{7}$ の式で書けるのは、この循環の一歩を計算していることにあたる。無理数の小数部分は、こうして循環する構造を隠し持っている。

別解

別解 — 小数で見当をつけてから式に直す(苦手な人向けの実感ルート)。 記号だけだと不安なら、$\sqrt{7}$ の近似値で実際の大きさを見てから、きれいな式にまとめる。

$\sqrt{7}=2.6457\cdots$ なので $a=3+\sqrt{7}=5.6457\cdots$。$5$ と $6$ の間だから整数部分は $5$、小数部分は $b=a-5=0.6457\cdots$。これが $\sqrt{7}-2=0.6457\cdots$ とちゃんと合う。

(2) $b^2+4b$ を数で見ると $0.6457^2+4\times 0.6457=0.417+2.583=3.00\cdots$。ちょうど $3$ になる気配がある。正確には $b+2=\sqrt{7}$ を $2$ 乗して $b^2+4b=3$。

(3) $\frac{1}{b}=\frac{1}{0.6457\cdots }=1.5486\cdots$。$1$ と $2$ の間だから整数部分 $1$、小数部分 $0.5486\cdots$。これが $\frac{\sqrt{7}-1}{3}=\frac{1.6457\cdots }{3}=0.5486\cdots$ と一致する。

数で見当をつけると「どの整数の間か」で迷わない。最後に根号の式へ戻せば、本解と同じ整数部分・小数部分に至る。