絶対値を含む方程式(右辺に文字)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値は「中身が $0$ になる点で場合分け」が基本。$x-1$ と $x-3$ の符号が変わる $x=1,3$ で区間を $3$ つに分ける。

各区間で絶対値を外すと、ただの $1$ 次方程式。$x<1$、$1\le x\le 3$、$x>3$ で $x+1$ と等しくなる $x$ を求める。

大事なのは検算。出た解が「その区間の中にあるか」を必ず確かめる。区間の外に出た解は捨てる。

① $x<1$ のとき。 $|x-1|=1-x,|x-3|=3-x$。方程式は $(1-x)+(3-x)=x+1$、$4-2x=x+1$、$x=1$。これは $x<1$ を満たさないので不適。

② $1\le x<3$ のとき。 $|x-1|=x-1,|x-3|=3-x$。$(x-1)+(3-x)=x+1$、$2=x+1$、$x=1$。これは $1\le x<3$ を満たすので適。

③ $x\ge 3$ のとき。 $|x-1|=x-1,|x-3|=x-3$。$(x-1)+(x-3)=x+1$、$2x-4=x+1$、$x=5$。これは $x\ge 3$ を満たすので適。

よって $x=1,5$。

まとめ:絶対値の方程式は「境目で区間分け → 各区間で外す → 区間チェック」。右辺に $x$ が入るタイプは、区間の端(ここでは $x=1$)が答えになったりならなかったりするので、採否の確認が生命線になる。

発展 — 一歩先へ。 右辺を $x+k$ の直線に変えると、傾き $1$ の直線が“皿型”の折れ線と何回交わるかで解の個数が変わる。傾きが $\pm 2$ の斜面より緩い($|1|<2$)ので、直線は各斜面と高々 $1$ 回ずつ交わる。左辺と右辺のグラフの交点で数える見方は、絶対値方程式の万能の道具だ。

別解

別解 — 左辺を折れ線グラフとして図で捉える(視覚で納得するルート)。 $y=|x-1|+|x-3|$ のグラフを描く。$x\le 1$ では傾き $-2$、$1\le x\le 3$ では平ら($y=2$)、$x\ge 3$ では傾き $+2$ の“皿型”の折れ線。

一方 $y=x+1$ は傾き $1$ の直線。この $2$ つのグラフの交点の $x$ 座標が解だ。

• 平らな部分($y=2$)と直線 $y=x+1$ の交点: $2=x+1$ で $x=1$(区間 $1\le x\le 3$ に入る)。
• 右上がり部分($y=2x-4$)と直線: $2x-4=x+1$ で $x=5$(区間 $x\ge 3$ に入る)。
• 左下がり部分は直線と交わらない(傾きの関係で)。

交点は $x=1,5$ の $2$ つ。場合分けで解く(本解)のと同じだが、グラフにすると「なぜ $2$ 解か」「なぜ左側に解がないか」が一目で分かる。右辺が動く($x+1$)問題こそ、$2$ つのグラフの交点で見ると迷わない。