数学I / 実数と1次不等式

連立1次不等式と整数解の個数

★★ 標準連立不等式整数解

問題

次の連立不等式を解け。また、この連立不等式を満たす整数 $x$ は全部で何個あるか。

$⎩ ⎨ ⎧ 2 (x - 1) \leq 5 x + 7 \frac{3 x - 1}{2} < x + 2$

ヒントを見る

2つを別々に解いて共通範囲を出す。そのあと『範囲に入る整数を数える』— 端が $\leq$ か $<$ かで、端の整数を含むか含まないかが変わる。数え間違いに注意。

解答・解説

連立不等式は、別々に解いて共通部分をとる。数直線でかくと重なりが見える。

そのあと『整数が何個あるか』を聞かれているので、共通部分の中の整数を、端に注意して数える(≦か<かで端を含むかが変わる)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 問いは2段構えだ。まず範囲を出す。次に整数を数える。

範囲を出すまでは機械的でいい。2本を別々に解いて、共通部分をとる。数直線に描けば重なりが見える。

「数える」段になったら、主役は端の扱いに変わる。 $\leq$ なら端を含む、 $<$ なら含まない。ここを最初から意識して数直線を描いておくと、最後で迷わない。

解 −3 ≤ x < 5 に含まれる整数は −3 から 4 までの 8 個

それぞれを別々に解く。

$2 x - 2 2 x - 5 x - 3 x \leq 5 x + 7 \leq 7 + 2 \leq 9$

$- 3$ で割って向きが逆になり

$x \geq - 3$

もう1つは、分母2をはらってから整理する。

$3 x - 1 3 x - 2 x x < 2 x + 4 < 4 + 1 < 5$

共通部分は

$- 3 \leq x < 5$

次に、この範囲の整数を数える。 $x \geq - 3$ は $- 3$ を含む(≦)、 $x < 5$ は5を含まない(<)ので

$- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4$

の8個。端の等号(含む・含まない)に注意して数えるのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 「 $n - m + 1$ 個」という数え方は、植木算と同じ理屈だ。差だけだと片端が抜けるから $1$ を足す。

この数え方は、数学Bの数列で「項数を数える」場面にそのままつながる。連立不等式に整数条件が加わった応用問題(解の個数から定数の範囲を逆算する型)でも、端の検分と個数の算術が主役になる。

答

解は $- 3 \leq x < 5$ 、これを満たす整数 $x$ は $8$ 個

整数の個数は、書き出さずに引き算で数えることもできる。

連続する整数 $m$ から $n$ までの個数は $n - m + 1$ 個。「両端を含むから $1$ を足す」のがポイントだ。

今回の範囲は $- 3 \leq x < 5$ 。含まれる整数は $- 3$ から $4$ まで(右端の $5$ は $<$ なので入らない)。

だから $4 - (- 3) + 1 = 8$ 個。

書き出しは確実だが、範囲が広いと現実的でない。「端がどの整数になるかを確定 → 引き算 $+ 1$ 」の2段で数える方法も持っておくと、大きな数の問題でも同じ手が使える。