中間の分数と最小の分母

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)の $\frac{a+c}{b+d}$ は、分子どうし・分母どうしを足した分数だ。一見でたらめな操作に見える。だがこれが、必ずもとの2数の間に入る。

証明は差の通分でよい。分子に $bc-ad>0$($\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ の言い換え)が共通部品として現れる。それが種明かしだ。

(2)は「分母最小」を問う数え上げ。分母 $q\le 4$ の分数は有限個しかない。だから全数調査で「隙間に入らない」ことを確かめる。あとは $q=5$ の実例を出せば最小性が確定する。その実例こそ、(1)の中間分数 $\frac{1+1}{3+2}=\frac{2}{5}$ である。

① (1) を示す。 $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ と $b,d>0$ から $bc-ad>0$。差を通分すると

$$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)}=\frac{bc-ad}{b(b+d)}>0$$

$$\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{c(b+d)-d(a+c)}{d(b+d)}=\frac{bc-ad}{d(b+d)}>0$$

分子はどちらも同じ $bc-ad>0$ だ。よって $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$。

② (2) 分母4以下の全数調査。 $\frac{1}{3}<\frac{p}{q}<\frac{1}{2}$ に入るかを、分母ごとに調べる:

• $q=1$: $\frac{p}{1}$ は $0.33\cdots$ と $0.5$ の間に整数なし
• $q=2$: 候補は $\frac{1}{2}$($p=1$)だが、端なので入らない
• $q=3$: $\frac{1}{3}<\frac{p}{3}<\frac{1}{2}$ ⟺ $1<p<1.5$ — 整数なし
• $q=4$: $\frac{4}{3}<p<2$ — 整数なし

よって分母4以下の分数は存在しない。

③ $q=5$ の実例。 (1)を $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$ に使う。中間分数 $\frac{1+1}{3+2}=\frac{2}{5}$ が間に入る(検算: $\frac{1}{3}<\frac{2}{5}$ ⟺ $5<6$ ✓、$\frac{2}{5}<\frac{1}{2}$ ⟺ $4<5$ ✓)。②とあわせて、分母最小の分数は

$$\frac{2}{5}$$

まとめ: 分数の大小は差の通分。最小性は「下を全部つぶす+実例」。この2つの証明作法が本問の骨格だ。中間分数は「必ず間に入る分数」を機械的に作れる名品で、しかもその隙間で分母最小になることが知られている。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{3}$ と $\frac{1}{2}$ は $bc-ad=3\cdot 1-1\cdot 2=1$ を満たす「隣どうし」のペアだ。このとき、間に入る分数の分母は必ず $3+2=5$ 以上になることが一般に証明できる。中間分数が分母最小を与えるのは偶然ではない。既約分数を分母の小さい順に並べた列(フェアリー数列)の理論への入り口である。

別解

勝率で見る(直感ルート)。 分数を「勝率」と読んでみよう。チームAは $b$ 試合で $a$ 勝(勝率 $\frac{a}{b}$)。チームBは $d$ 試合で $c$ 勝(勝率 $\frac{c}{d}$)。2チームの成績を合算すると、$b+d$ 試合で $a+c$ 勝。その勝率が中間分数 $\frac{a+c}{b+d}$ だ。

弱いチームと強いチームを合わせた全体の勝率が、両者の間に来るのは自然なこと。式でも確かめられる:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{b\cdot \frac{a}{b}+d\cdot \frac{c}{d}}{b+d}$$

つまり中間分数は、2つの勝率の重みつき平均(重みは試合数 $b,d$)である。平均は必ず2数の間に入る。これが(1)の正体だ。

「分子どうし・分母どうしを足す」という謎の操作が、「成績の合算」というごく自然な操作だった。そう分かると、この分数はもう忘れられない。