1次不等式の文章題

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文章題は「求めたいものを $x$ とおく」から始める。ボールペンの本数を $x$ 本とすると、合計 $20$ 本だから鉛筆は残りの $(20-x)$ 本。

これで代金が $x$ の式で書ける — $150x+90(20-x)$。

条件「$2500$ 円以下」を不等号 $\leqq$ で表し、解く。最後に $x$ が本数(整数)であることを思い出す — これが文章題ならではの最後の一手だ。

ボールペンを $x$ 本買うとすると、鉛筆は $(20-x)$ 本。代金の合計を2500円以下にするので

$$150x+90(20-x)\le 2500$$

この不等式を解く。

$$\begin{array}{rl}150x+1800-90x& \le 2500\\ 60x& \le 700\\ x& \le \frac{35}{3}\end{array}$$

$\frac{35}{3}=11.6\dots$ で、$x$ は本数だから整数。$x\le 11.6\dots$ を満たす最大の整数は

$$x=11$$

まとめ:よってボールペンは最大11本買える。文章題は『$x$ とおく → 不等式を立てる → 解く → 整数など現実の条件で答える』の流れ。最後に『$x$ は整数』を使うのを忘れないこと。

発展 — 一歩先へ。 答えを出したら必ず現物で検算する — $11$ 本なら $2460$ 円(条件を満たす)、$12$ 本なら $2520$ 円(超える)。「$11$ が最大」を、両側から確認して初めて答えが確定する。不等式を解いた $x\leqq 11.6$ から機械的に $11$ と書くより、この $2$ 点確認の方が信頼できる。

問題文の「少なくとも $1$ 本は買う」という条件も見落とせない。もしこれがなければ $x=0$(全部鉛筆)も許されるが、今回は $1\leqq x\leqq 19$ の範囲で考えることになる — 答えの $11$ はこの範囲内なので影響しないが、条件をすべて拾ってから答えるのが文章題の作法だ。

別解

不等式を立てずに、「全部安い方 → 高い方に取り替える」という素朴な計算でも答えが出る。

まず全部鉛筆と考える。$20$ 本すべて $90$ 円なら

$$90\times 20=1800\text{円}$$

予算 $2500$ 円まで、あと $700$ 円の余裕がある。

$1$ 本を鉛筆からボールペンに取り替えると、代金は $150-90=60$ 円だけ増える。

$$700÷60=11.6\dots$$

$11$ 回までなら取り替えられる($12$ 回だと $720$ 円増えて予算オーバー)。よってボールペンは最大 $11$ 本。

確かめると: ボールペン $11$ 本・鉛筆 $9$ 本で $150\times 11+90\times 9=1650+810=2460$ 円 ✓($2500$ 円以下)。$12$ 本なら $2520$ 円で超過 ✗。

この解き方の良さは、割り算の余りが「切り捨て」を自然に説明すること。$11.6$ 回の取り替えなど存在しない — 本数は整数だから切り捨てる、が計算の意味からそのまま出てくる。不等式ルートで $x\leqq \frac{35}{3}$ を得た後の「$x$ は整数だから $11$」という一手も、この絵で腑に落ちる。