相加相乗で下から押さえる不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 左辺を展開してみる: $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$。

残った $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ は「正の数とその逆数の和」— 相加相乗平均の一番の得意客だ。

$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2$ で全体は $4$ 以上。等号の条件まで、相加相乗の等号($2$ つの数が等しい)から自動で降りてくる。

① 展開する。 $$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}.$$ ② 相加相乗を適用。 $\frac{b}{a}>0,\frac{a}{b}>0$ で積が $1$ だから $$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=2\sqrt{1}=2.$$ ③ 結論。 よって $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2+2=4$。等号は $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$、すなわち $a=b$ のとき。

まとめ 展開して $2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$、逆数の和に相加相乗で $\ge 4$。等号は $a=b$。不等式と相加相乗の融合。

発展 — 一歩先へ。 $n$ 個への一般化 $(a_1+\cdots +a_n)\left(\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2$ は、コーシー・シュワルツの同じ代入で1行だ。両辺を $n^2$ で割ると「相加平均 $\ge$ 調和平均」の形になり、相加相乗と合わせて $\text{AM}\ge \text{GM}\ge \text{HM}$ の3段の鎖が完成する。並列抵抗・平均速度など、「逆数の平均」が現れる場面の土台になる不等式だ。

別解

コーシー・シュワルツで一撃(次の問題との連携)。 この不等式は、コーシー・シュワルツ($(p^2+q^2)(r^2+s^2)\ge (pr+qs{)}^2$)の直接の帰結でもある。

$p=\sqrt{a},q=\sqrt{b},r=\frac{1}{\sqrt{a}},s=\frac{1}{\sqrt{b}}$ とおくと

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge {\left(\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2=(1+1{)}^2=4$$

等号は $\frac{p}{r}=\frac{q}{s}$、整理して $a=b$ のとき。

展開+相加相乗(本解)は部品が最小限、コーシー・シュワルツは「和×逆数和 $\ge$(個数)${}^2$」という一般形($n$ 個でも $(a_1+\cdots +a_n)\left(\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right)\ge n^2$)がそのまま見える。この形は物理(合成抵抗)や統計で繰り返し出会う。