絶対値方程式の解の個数(距離で読む)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|x-1|+|x-4|$ を「数直線上の $x$ から、$2$ 点 $1,4$ までの距離の和」とみる。この見方が急所だ。

$x$ が $1$ と $4$ の間($1\le x\le 4$)にあるとき、距離の和は端どうしの距離 $3$ で一定(これが最小)。外に出ると、出た分だけ増える。

だから左辺は $3$ 以上の値しかとらない。$a$ をこの最小値 $3$ と比べて、$a<3$(解なし)、$a=3$(区間まるごと)、$a>3$($2$ 点)と分類する。

① 左辺の意味と最小値。 $|x-1|+|x-4|$ は $x$ と $2$ 点 $1,4$ との距離の和。$1\le x\le 4$ にあるとき、和は端どうしの距離 $|4-1|=3$ に等しく一定。区間の外では、遠ざかるぶんだけ $3$ より大きくなる。よって左辺の最小値は $3$。

② $a$ で分類する。

• $a<3$:左辺は $3$ より小さくなれないので、解なし($0$ 個)。
• $a=3$:$1\le x\le 4$ のすべてで左辺 $=3$。よって解は無数(区間全体)。
• $a>3$:区間 $[1,4]$ の左と右に $1$ つずつ、ちょうど $2$ 個。

まとめ:$|x-p|+|x-q|$ は「$2$ 定点からの距離の和」で、最小値は $2$ 点間の距離、しかもその最小は区間 $[p,q]$ 全体で達成される。この「平らな谷」を見落とすと、$a=3$ の無数解を取りこぼしてしまう。

発展 — 一歩先へ。 $|x-1|+|x-4|$ の最小値 $3$ は $2$ 点間の距離。点が増えて $|x-a_1|+\cdots +|x-a_n|$ になると、最小値を与える $x$ は中央値(奇数個ならど真ん中、偶数個なら中央 $2$ 点の間で一定)。統計で「絶対偏差の和を最小にするのは中央値」という性質そのものだ。

別解

別解 — $y=|x-1|+|x-4|$ と $y=a$ のグラフの交わりで数える(視覚で納得するルート)。 左辺のグラフは“皿型”の折れ線。$x\le 1$ で傾き $-2$、$1\le x\le 4$ で底が平ら($y=3$)、$x\ge 4$ で傾き $+2$。最も低いところが $y=3$。

水平線 $y=a$ をこのグラフに重ねて、交点の数を数える。

• $a<3$: 水平線が皿の底より下。交点なし($0$ 個)。
• $a=3$: 水平線が平らな底とぴったり重なる。区間 $1\le x\le 4$ のすべてが交点(無数)。
• $a>3$: 底より上。左の斜面と右の斜面で $1$ つずつ、計 $2$ 個。

距離の和として読む(本解)のと同じだが、「皿型のグラフに水平線を上下させる」と、$a=3$ で交わりが線分になる(無数解)という特殊なケースも見落とさない。左辺が“底が平ら”なのは、$2$ 点の間では距離の和が一定だからだ。