有理化と対称式の値(5乗の和まで)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ と $y$ は分子・分母が入れかわった形 — ならば積 $xy$ は $1$ になるはず、という予感が最初の武器になる。有理化で確かめたら、あとは対称式の部品($x+y$ と $xy$)から高次の和を積み上げる。

まず有理化する。

$$x=\frac{(\sqrt{5}+1{)}^2}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{5+2\sqrt{5}+1}{5-1}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

$$y=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

(1) 基本対称式を求める。

$$x+y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{6}{2}=3$$

$$xy=\frac{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{4}=\frac{9-5}{4}=1$$

(2) 公式に当てはめる。

$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=3^2-2\times 1=7$$

$$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=3^3-3\times 1\times 3=27-9=18$$

(3) $x^5+y^5$ は、$(x^2+y^2)(x^3+y^3)$ を展開すると現れる。

$$(x^2+y^2)(x^3+y^3)=x^5+x^2{y}^3+x^3{y}^2+y^5=x^5+y^5+x^2{y}^2(x+y)$$

(まん中の $x^2{y}^3+x^3{y}^2=x^2{y}^2(x+y)$。)これを $x^5+y^5$ について解くと

$$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-(xy{)}^2(x+y)$$

(2)(1)の結果を入れて

$$x^5+y^5=7\times 18-1^2\times 3=126-3=123$$

まとめ:高い次数の和も、$x+y$ と $xy$ と、低い次数の和から組み立てられる。$(x^2+y^2)(x^3+y^3)$ の展開で、余分な項を引くのがコツだ。

別解

別の作り方もある。まず $x^4+y^4$ を求める。

$$x^4+y^4=(x^2+y^2{)}^2-2(xy{)}^2=7^2-2=47$$

そして $x^5+y^5=(x+y)(x^4+y^4)-xy(x^3+y^3)$ を使うと

$$x^5+y^5=(x+y)(x^4+y^4)-xy(x^3+y^3)=3\times 47-1\times 18=123$$

『$(x+y)(x^4+y^4)$ を展開して余分な項を引く』という、同じ発想の別の組み立て方だ。