根号と絶対値のはずし方(符号の判定)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 全体を貫く道具は $\sqrt{A^2}=|A|$。

絶対値を外すには、中身の符号が要る。

その符号は、与えられた条件から決まる。

必要な情報を逆からたどると、やるべきことは「条件を使った符号調べ」に絞られる。

$\sqrt{A^2}=|A|$ を使い、中身の符号で絶対値を外す。

(1) $\sqrt{7}$ は $2<\sqrt{7}<3$。$3-\sqrt{7}>0$、$2-\sqrt{7}<0$ なので

$$\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}=|3-\sqrt{7}|=3-\sqrt{7}$$

$$\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}=|2-\sqrt{7}|=-(2-\sqrt{7})=\sqrt{7}-2$$

足すと

$$(3-\sqrt{7})+(\sqrt{7}-2)=1$$

(2) $a<b<0$ から符号を決める。$a<0$ なので $|a|=-a$、$b<0$ なので $|b|=-b$、$\sqrt{b^2}=|b|=-b$。$a<b$ より $a-b<0$ なので $|a-b|=-(a-b)=b-a$。代入して

$$\begin{array}{rl}|a|-|b|+|a-b|+\sqrt{b^2}& =(-a)-(-b)+(b-a)+(-b)\\ & =-a+b+b-a-b\\ & =-2a+b\end{array}$$

(3) $-1<x<2$ の範囲では、$x+1>0$(正)、$x-2<0$(負)。だから $|x+1|=x+1$、$|x-2|=-(x-2)=2-x$。

$$|x+1|+2|x-2|=(x+1)+2(2-x)=x+1+4-2x=-x+5$$

まとめ:絶対値を外すには、まず中身の符号を確実に決めること。条件($a<b<0$ や $-1<x<2$)から1つずつ判断する。

発展 — 一歩先へ。 $\sqrt{A^2}=|A|$ は、「$2$ 乗して平方根をとると符号の情報が消え、大きさだけ残る」ことの表れだ。

一般に、偶数乗の根 $\sqrt[2n]{A^{2n}}=|A|$ は絶対値になり、奇数乗の根 $\sqrt[2n+1]{A^{2n+1}}=A$ は符号ごと戻る。偶数乗が符号を消すのは $(-A{)}^{2n}=A^{2n}$ だからだ。

数直線で見れば $|A|$ は原点からの距離。$\sqrt{A^2}$ が「$2$ 乗して平方根」で距離を測るのと、ぴたりと重なる。

別解

別解 — 範囲内の代表値で簡単な形を突き止める(苦手な人向けの実感ルート)。 符号の場合分けが不安なら、条件を満たす具体的な数を代入して形を見抜く手がある。

カギは「範囲の中では各絶対値の符号が変わらない」こと。だから中身はどれも符号の決まった $1$ 次式で、答えも $1$ 次式になる。$1$ 次式なら、代表の点をいくつか代入すれば係数まで決まる。

(2) $a<b<0$ を満たす例として $a=-3,b=-1$ をとる。

$$|a|-|b|+|a-b|+\sqrt{b^2}=3-1+2+1=5.$$

$-2a+b=6-1=5$ で一致する。別の例 $a=-4,b=-2$ でも左辺は $4-2+2+2=6$、$-2a+b=8-2=6$ とそろう。ここで外した中身 $|a|=-a,|b|=-b,|a-b|=b-a,\sqrt{b^2}=-b$ はどれも定数項をもたない。だから全体も定数項なしの $pa+qb$ の形で、決めるべき係数は $p,q$ の $2$ つだけ。この $2$ つを $2$ 点の代入で連立すれば $p=-2,q=1$、すなわち $-2a+b$ と決まる。もし定数項があれば未知数は $3$ つになり $2$ 点では足りない。各項が原点を通る($a=b=0$ で値が $0$)おかげで $2$ 点で済むわけだ。

(3) $-1<x<2$ の代表として $x=0$ をとると $|0+1|+2|0-2|=1+4=5$。$x=1$ では $2+2=4$。$2$ 点 $(0,5),(1,4)$ を通る $1$ 次式は $-x+5$。

(1)は文字がなく、$2<\sqrt{7}<3$ から $(3-\sqrt{7})+(\sqrt{7}-2)=1$ と直に出る。範囲内では符号が固定される、という一点をおさえれば、本解と同じ $-2a+b$、$-x+5$ に至る。