連立1次不等式の整数解の個数(パラメータ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず各不等式を解いて $x$ の範囲を出す。$3x-1>x+a$ から $x>\frac{a+1}{2}$、$2x+5\ge 4x-3$ から $x\le 4$。

解は $\frac{a+1}{2}<x\le 4$。この中の整数がちょうど $3$ 個になる $a$ を探す。

$x\le 4$ 側は固定だから、整数 $4,3,2$ の $3$ 個が入り、$1$ が入らない条件を書く。すなわち $x=2$ が含まれ($\frac{a+1}{2}<2$)、$x=1$ が含まれない($\frac{a+1}{2}\ge 1$)。境界の等号の向きに注意する。

① 各不等式を解く。 $3x-1>x+a$ から $2x>a+1$、$x>\frac{a+1}{2}$。$2x+5\ge 4x-3$ から $8\ge 2x$、$x\le 4$。よって範囲は

$$\frac{a+1}{2}<x\le 4$$

② 整数解を数える。 上端 $x=4$ は含まれ、$x$ は $4,3,2,1,\dots$ と下に並ぶ。$3$ 個ちょうどにするには $4,3,2$ を含み $1$ を含まないこと。すなわち下端が $1$ 以上 $2$ 未満:

$$1\le \frac{a+1}{2}<2$$

($\frac{a+1}{2}<2$ で $x=2$ が範囲に入り、$1\le \frac{a+1}{2}$ で $x=1$ が外れる。)

③ $a$ について解く。 各辺を $2$ 倍して $2\le a+1<4$、よって

$$1\le a<3$$

まとめ:パラメータ入りの整数解の個数は「範囲を出す → 動く端を整数と見比べる」。端が整数に一致する瞬間($a=1,3$)に個数が変わる。$a=1$ では $\frac{a+1}{2}=1$、$x>1$ だから $x=1$ は外れて $3$ 個(だから $a=1$ を含む)。$a=3$ では $\frac{a+1}{2}=2$、$x=2$ が外れて $2$ 個(だから $a=3$ を除く)。等号の吟味がすべて。

発展 — 一歩先へ。 「整数解がちょうど $k$ 個」型は、$1$ 端固定・$1$ 端可動の“窓”を数直線上で動かし、整数の隙間に端を置く問題に帰着する。境界の等号の向き($<$ か $\le$ か)が答えの端点を決めるので、元の不等式の等号の有無を最後まで保つのが肝心。線形計画法や、数直線上の場合分けの基礎練習になる。

別解

別解 — 数直線で「$3$ 個入る窓」を動かす(視覚で捉えるルート)。 解は $\frac{a+1}{2}<x\le 4$。右端 $x=4$ は固定で、左端 $\frac{a+1}{2}$ が $a$ とともに動く“可動の壁”だ。

整数 $\dots ,1,2,3,4$ を数直線に並べ、$x\le 4$ 側から数えると、含まれる整数は $4,3,2,1,\dots$ の順。ちょうど $3$ 個($4,3,2$)にするには、可動の壁 $\frac{a+1}{2}$ が「$1$ と $2$ の間」に来ればよい。

$$1\le \frac{a+1}{2}<2.$$

左の等号($x=1$ を除くために壁は $1$ 以上でよい: $\frac{a+1}{2}\ge 1$ なら $x>\frac{a+1}{2}\ge 1$ で $x=1$ は入らない)、右の非等号($x=2$ を入れるために壁は $2$ 未満: $\frac{a+1}{2}<2$)に注意。解くと $1\le a<3$。

不等式を代数で処理する(本解)のと同じだが、「可動の壁を整数の隙間に置く」と、境界の等号・非等号がどちらを向くかを間違えにくい。