連立1次不等式と整数解の個数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文字 $a$ を含む連立不等式だ。

まず $a$ に無関係な $1$ 本を片づけて、土台を固定する。

そのうえで、もう $1$ 本の動く端との位置関係だけを議論する形に整える。

「動くものと動かないものを分ける」が発想の軸だ。

(1) $a=3$ のとき。1つ目 $7x-5>3(x+1)$ を解くと $7x-5>3x+3$、$4x>8$、$x>2$。2つ目 $x+3\ge 4x-6$ を解くと $-3x\ge -9$、$x\le 3$。共通部分は

$$2<x\le 3$$

(2) 一般の $a$ で考える。1つ目は $a$ に関係なく $x>2$。2つ目 $x+a\ge 4x-6$ は $-3x\ge -a-6$、$x\le \frac{a+6}{3}$。だから解は

$$2<x\le \frac{a+6}{3}$$

この範囲に入る整数は、$x>2$ より 3, 4, 5, … 。ちょうど3個(3, 4, 5)入るには、右端 $\frac{a+6}{3}$ が5以上6未満であればよい(5は含み、6は含まない)。

$$5\le \frac{a+6}{3}<6$$

各辺を3倍して $15\le a+6<18$、6を引いて

$$9\le a<12$$

まとめ:整数の個数を条件にする問題は、数直線で『どこまで整数を含めるか』を、右端の位置で調整するのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 「ちょうど $3$ 個」という条件は、$2$ つの単調な条件の重なりに割って捉えられる。$a$ を大きくすると上端 $\frac{a+6}{3}$ は右へ動き、範囲に入る整数は減ることなく増えていく。個数が $a$ について単調に増えるので、条件がきれいに分かれる。

「$3$ 個以上」は上端が整数 $5$ まで届けばよく、これは $a\ge 9$。「$3$ 個以下」は上端が整数 $6$ には届かなければよく、これは $a<12$。単調性のおかげで、この $2$ つはそれぞれ片側だけの範囲(半直線)になる。

「ちょうど $3$ 個」は、この「以上」と「以下」の重なり、すなわち $9\le a<12$。ちょうどを『以上かつ以下』の $2$ 枚に分けるこの見方は、パラメータが増えると解が単調に増える問題すべてに通用する一般の道具だ。

別解

別解 — 個数を整数部分(床関数)の式で数える(得意な人向けの高い視点)。 解は $2<x\le U$、ただし $U=\frac{a+6}{3}$。この範囲に入る整数は $3,4,\dots ,\lfloor U\rfloor$ で、$\lfloor U\rfloor$ は $U$ の整数部分を表す。

だから個数は $\lfloor U\rfloor -2$ 個と、$1$ つの式で書ける。これがちょうど $3$ になる条件は

$$\lfloor U\rfloor -2=3⟹\lfloor U\rfloor =5.$$

$\lfloor U\rfloor =5$ は $5\le U<6$ と同じことだから

$$5\le \frac{a+6}{3}<6.$$

各辺を $3$ 倍して $6$ を引くと $9\le a<12$。

個数を「$\lfloor U\rfloor -2=3$」と書き切ってしまえば、整数を目で追わずに機械的に $a$ の範囲が出る。本解と同じ $9\le a<12$ に至る。