数列 — 等差・等比・Σ・階差

初項 $3$、公差 $4$ の等差数列の一般項 $a_n$ を求めよ。また、第 $10$ 項を求めよ。

初項 $3$、公差 $4$ の等差数列の、初項から第 $10$ 項までの和 $S_{10}$ を求めよ。

初項 $2$、公比 $3$ の等比数列の一般項 $a_n$ を求めよ。また、第 $5$ 項を求めよ。

初項 $2$、公比 $3$ の等比数列の、初項から第 $5$ 項までの和 $S_5$ を求めよ。

$\sum _{k=1}^{10}k$ を求めよ。

$\sum _{k=1}^{10}{k}^2$ を求めよ。

$\sum _{k=1}^n(2k+1)$ を $n$ の式で表せ。

初項 $5$、公差 $3$ の等差数列で、$101$ は第何項か。

第 $2$ 項が $6$、第 $4$ 項が $54$ である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし公比は正とする。

$1+3+5+\cdots +11$(初項から数えて $6$ 個の奇数の和)を求めよ。

(1) $4$、$x$、$16$ がこの順に等差数列であるとき、$x$ を求めよ。

(2) $4$、$y$、$9$ がこの順に等比数列であり $y>0$ のとき、$y$ を求めよ。

$\sum _{k=1}^4{k}^3$ を求めよ。

$\sum _{k=1}^n(k^2+2k)$ を $n$ の式で表せ。

$\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2$ を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1$ で、階差数列(となり合う項の差)が $a_{n+1}-a_n=2n+1$ で与えられている。一般項 $a_n$ を求めよ。

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$ を $n$ の式で表せ。

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を $n$ の式で表せ。

$S=\sum _{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}$ を $n$ の式で表せ。

$\sum _{k=1}^n{x}^{k-1}=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}$ を求めよ。ただし $x$ は実数の定数とする。

$\sum _{k=1}^{n}k(k+1)$ を $n$ の式で表せ。

自然数を $1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|\cdots$ のように、第 $n$ 群が $n$ 個の項からなるように分ける。第 $5$ 群の最初の項を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n=n^2+2n$ で表される。一般項 $a_n$ を求めよ。

初項 $20$、公差 $-3$ の等差数列について、初項から第何項までの和が最大になるか。また、その最大値を求めよ。

$\sum _{k=1}^n(3k-1)$ を $n$ の式で表せ。

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}$ を $n$ の式で表せ。

$S=\sum _{k=1}^n(2k-1)\cdot 3^{k-1}$ を $n$ の式で表せ。

奇数の列 $1,3,5,7,\cdots$ を、$1|3,5|7,9,11|\cdots$ のように第 $n$ 群が $n$ 個の奇数からなるように分ける。第 $n$ 群に含まれる奇数の和を求めよ。

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、すべての $n$ で $S_n=2a_n-1$ を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

$\sum _{k=1}^{n}k\cdot k!$ を $n$ の式で表せ。ただし $k!=1\cdot 2\cdots k$ とする。

$S=\sum _{k=1}^n(3k-2)\cdot 2^{k-1}$ を $n$ の式で表せ。

$\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^{i}j\right)$ を $n$ の式で表せ。

和 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を求めよ。

自然数を $1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|\cdots$ のように、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように分ける。第 $100$ 項の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、すべての自然数 $n$ について $S_n=2a_n-n$ を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

和 $\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2$ を求めよ。

数列 $1,3,7,13,21,\cdots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

和 $\sum _{k=1}^n\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}$ を求めよ。

和 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求めよ。

$n$ を偶数とするとき、和 $1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}{n}^2$ を求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ を求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2$ を求めよ。

$c_n=2\cos n\theta$ とおく。(1) $c_{n+1}=2\cos \theta \cdot c_n-c_{n-1}$ を示せ。

(2) これを用いて $\cos 5\theta$ を $\cos \theta$ の式で表し、$\cos 36^{\circ }$ の値を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}}$ を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)$ で定める。$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

$\sum _{k=1}^{100}k!$ を $12$ で割った余りを求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=1}^n\cos \frac{2k\pi }{2n+1}$ を求めよ。

フィボナッチ数列を $F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ で定める。(1) $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$($n\ge 2$)を示せ。

(2) これを用いて、連続する2つのフィボナッチ数 $F_n,F_{n+1}$ が互いに素であることを示せ。

$S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}$ とする。$S$ の整数部分($S$ を超えない最大の整数)を求めよ。

すべての自然数 $n$ について、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<\frac{7}{4}$$

$S=\sum _{k=1}^{100}\left[\sqrt{k}\right]$ を求めよ。ただし $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

数列 $a_n=n{\left(\frac{4}{5}\right)}^n$($n=1,2,3,\dots$)が最大となる $n$ をすべて求め、その最大値を求めよ。

自然数 $k$ の正の約数の個数を $d(k)$ と書く。$\sum _{k=1}^{20}d(k)$ を求めよ。

次のように分数を並べる(約分はしない)。

$$\frac{1}{1}|\frac{1}{2},\frac{2}{1}|\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1}|\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}|\cdots$$

第 $g$ 群には、分子と分母の和が $g+1$ である分数が、分子の小さい順に $g$ 個並ぶ。

(1) $\frac{5}{8}$ は第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

$\sum _{1\le i<j\le 10}(j-i)$ を求めよ。すなわち、1以上10以下の整数の組 $(i,j)$($i<j$)のすべてについて $j-i$ を足し合わせた和を求めよ。

自然数を1から順に並べ、平方数($1,4,9,\dots$)と立方数($1,8,27,\dots$)をすべて取り除いてできる数列

$$2,3,5,6,7,10,11,\dots$$

の第2026項を求めよ。