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数学B

数列 等差・等比・Σ・階差

等差数列・等比数列、和の公式、Σの計算、階差数列、いろいろな数列の和を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 等差数列の一般項
  2. 等差数列の和
  3. 等比数列の一般項
  4. 等比数列の和
  5. Σ の計算(k の和)
  6. Σ の計算(k² の和)
  7. Σ の計算(1次式)
  8. 等差数列の項数
  9. 等比数列の決定
  10. 奇数の和
  11. 等差中項・等比中項
  12. Σ の計算(k³ の和)

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. Σ の計算(2次式)
  2. Σ の計算(展開が必要)
  3. 階差数列
  4. 分数の数列の和(部分分数)
  5. 分数の数列の和(係数つき)
  6. (等差)×(等比)型の和
  7. 等比数列の和(公比の場合分け)
  8. Σ の計算(積の形)
  9. 群数列
  10. 和 Sₙ から一般項
  11. 等差数列の和の最大
  12. Σ の計算(1次式・一般項)

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 部分分数の和(分母の差が2)
  2. (等差)×(等比)の和
  3. 群数列(奇数の群)
  4. 根号を含む数列の和(有理化)
  5. 和と項の関係式から一般項
  6. 階乗を含む数列の和
  7. (等差)×(等比)の和(一般)
  8. 二重和

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 3つの積の部分分数の和
  2. 群数列(自然数を群に分ける)
  3. 和と項の関係式から一般項
  4. 奇数の2乗の和
  5. 階差数列から一般項
  6. 平方の逆数の差による和
  7. 奇数の積の部分分数の和
  8. 平方の交代和

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 二項係数の2乗重み和(母関数の微分)
  2. 二項係数の2乗和(ヴァンデルモンドの畳み込み)
  3. 3項間漸化式でチェビシェフ多項式(cos36°を求める)
  4. 和の極限を無理関数の定積分で(区分求積法)
  5. ニュートン法の数列の極限(単調・有界とはさみうち)
  6. 階乗の和を12で割った余り(数列の和と合同)
  7. 1のべき乗根と余弦の和(数列の和と複素数)
  8. フィボナッチ数のカッシーニ恒等式と互いに素

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 平方根の逆数の和の整数部分
  2. 平方の逆数の和の上からの評価
  3. ガウス記号の和(値ごとの群れ)
  4. 数列の最大項(隣接比と等号)
  5. 約数の個数の総和(数える向きの交換)
  6. 分数を並べた群数列
  7. すべての組の差の総和
  8. 平方数と立方数を除いた数列

数列の解説(つまずきやすい点と学習の順序)