数学B / 数列

等比数列の一般項

★ 基礎等比数列

問題

初項 $2$ 、公比 $3$ の等比数列の一般項 $a_{n}$ を求めよ。また、第 $5$ 項を求めよ。

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等比数列の一般項は『初項に、公比を何回かけたか』。第 $n$ 項までに公比を何回かけるかを考えれば書ける。

解答・解説

方針

等比数列は「初項に公比を $(n - 1)$ 回かける」。公式 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ に $a_{1} = 2$ 、 $r = 3$ を入れる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 等比数列は「同じ数を掛け続ける」数列だ。

$2, 6, 18, 54, 162, \dots (3 倍ずつ)$

等差が「足す」なら、等比は「掛ける」。

第 $n$ 項までに、何回掛けるか。

第 $1$ 項: $2$ ( $0$ 回)
第 $2$ 項: $2 \times 3$ ( $1$ 回)
第 $3$ 項: $2 \times 3^{2}$ ( $2$ 回)
第 $n$ 項: $2 \times 3^{n - 1}$

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$

ここでも $(n - 1)$ 。 等差のときと同じ理屈だ( $n$ 回ではなく $n - 1$ 回)。

第 $5$ 項。

$a_{5} = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 = 162$

「初項 $\times$ 公比の $(n - 1)$ 乗」 — 等差の公式と、構造がそっくりである。

公式等比数列の一般項

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

(

a_{1}

は初項、

r

は公比)

① 公式に代入する。 $a_{1} = 2$ 、 $r = 3$ 。

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$

② 第 $5$ 項を求める。 $n = 5$ 、指数は $n - 1 = 4$ 。

$a_{5} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \times 81 = 162$

まとめ:等比数列は「初項 × 公比の $(n - 1)$ 乗」。指数が $n$ ではなく $n - 1$ なのに注意( $n = 1$ で $r^{0} = 1$ となり初項に戻る)。

発展 — 一歩先へ。 等比数列の「増え方」は、人間の直感を軽々と超える。

有名な「米粒の逸話」。

チェス盤の $1$ マス目に米 $1$ 粒、 $2$ マス目に $2$ 粒、 $3$ マス目に $4$ 粒 $\dots$ と、倍々にしていく。 $64$ マス目には何粒か?

$a_{64} = 2^{63} \approx 9.2 \times 1 0^{18}$

約 $920$ 京粒。 全部足すと $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 1 0^{19}$ 粒 — 世界の米の年間生産量の、 $1000$ 年分を超える。

倍々ゲームは、 $64$ 回で世界を飲み込む。

「複利は人類最大の発明である」(アインシュタインの言葉とされる)。

年利 $5%$ で $100$ 万円を運用すると:

$10$ 年後: $163$ 万円
$30$ 年後: $432$ 万円
$50$ 年後: $1147$ 万円

$50$ 年で $11$ 倍以上。 元本の $5%$ ( $5$ 万円)ずつ足していく単利なら $350$ 万円 — 等比と等差の差は、時間とともに開く一方だ。

「 $72$ の法則」 という便利な目安がある。

$(2 倍になる年数) \approx \frac{72}{( 年利 % )}$

年利 $6%$ なら、 $72 \div 6 = 12$ 年で $2$ 倍。

なぜ $72$ か。 対数で計算すると

$1.0 6^{n} = 2 ⟹ n = \frac{lo g 2}{lo g 1.06} \approx \frac{0.693}{0.0583} \approx 11.9$

約 $12$ 年 ✓ — $lo g 2 \approx 0.693$ と、小さい $x$ での $lo g (1 + x) \approx x$ という近似から、 $\frac{69.3}{%}$ が出る。 $72$ は割り切れやすいので、実務で使われている。

逆に、恐ろしい面もある。

インフレ率 $3%$ が続くと、 $24$ 年でお金の価値は半分になる( $72 \div 3 = 24$ )。

細菌が $20$ 分で $2$ 倍に増えるなら、 $1$ 日( $72$ 回分裂)で $2^{72} \approx 4.7 \times 1 0^{21}$ 個 — 地球を覆い尽くす計算になる(実際には栄養が尽きて止まる)。

等比数列の増加は、指数関数的である。 そして指数関数は、どんな多項式よりも速く増える。

$n \to \infty lim \frac{n ^{100}}{2 ^{n}} = 0$

$n^{100}$ でさえ、 $2^{n}$ には敵わない。

「倍々」の力を、決して侮ってはいけない。

答

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ 、第 $5$ 項は $162$

別解

等差と等比を、徹底的に対比しよう。 $2$ つは「足し算の世界」と「掛け算の世界」の、鏡像である。

対比表。

	等差数列	等比数列
作り方	公差 $d$ を足す	公比 $r$ を掛ける
一般項	$a_{1} + d (n - 1)$	$a_{1} \cdot r^{n - 1}$
関数の型	$1$ 次関数(直線)	指数関数(曲線)
隣り合う項の関係	差が一定	比が一定
中間の項	相加平均(等差中項)	相乗平均(等比中項)
和の公式	$\frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$	$\frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$

「足す」と「掛ける」を入れかえると、等差が等比に化ける。

そして、この $2$ つは"対数"で結ばれている。

等比数列 $2, 6, 18, 54, 162$ の、各項の対数をとってみよう。

$lo g_{3} 2, lo g_{3} 6, lo g_{3} 18, lo g_{3} 54, lo g_{3} 162$

計算すると

$lo g_{3} 2 \approx 0.63, lo g_{3} 6 \approx 1.63, lo g_{3} 18 \approx 2.63, lo g_{3} 54 \approx 3.63, lo g_{3} 162 \approx 4.63$

$1$ ずつ増えている! — 等差数列になった!

$等比数列の対数をとると、等差数列になる$

なぜか。

$lo g (a_{1} r^{n - 1}) = lo g a_{1} + (n - 1) lo g r$

$lo g r$ を公差とする、等差数列の一般項の形 ✓

「掛け算を足し算に変える」という対数の性質が、ここでも働いている。

この事実の実用性。

等比数列の問題を、対数をとって等差数列の問題に変えることができる。

例: 「初項 $2$ 、公比 $3$ の等比数列で、 $10000$ を超えるのは第何項か?」

$2 \cdot 3^{n - 1} > 10000 ⟹ 3^{n - 1} > 5000$

両辺の常用対数をとる。

$(n - 1) lo g_{10} 3 > lo g_{10} 5000$

$(n - 1) \times 0.4771 > 3.699$

$n - 1 > 7.75 ⟹ n ≧ 9$

第 $9$ 項 で $10000$ を超える。

確かめる: $a_{9} = 2 \times 3^{8} = 2 \times 6561 = 13122 > 10000$ ✓、 $a_{8} = 4374 < 10000$ ✓

指数の問題が、対数で $1$ 次不等式に化けた。

「等差」と「等比」を行き来する道具が、対数である。 数IIの指数対数と、数Bの数列が、ここでつながる。

そして、この関係は現実にも現れる。

音階: 振動数は等比数列( $\times 2^{1/12}$ )だが、人間には等差(半音ずつ)に聞こえる — 耳が対数をとっている!
地震のマグニチュード: エネルギーは等比、 $M$ は等差
株価: 「 $10%$ 上昇」は等比、対数グラフで見ると等差(直線)

掛け算の世界を、足し算の世界に写す。 対数は、その架け橋である。

ポイント

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。指数は $n - 1$ 。
$n = 1$ で $r^{0} = 1$ 、初項に戻る。

よくある間違い

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ としてしまう(指数は $n - 1$ 。 $n = 1$ で初項2になるか確認する)
$2 \cdot 3^{4}$ を $(2 \times 3)^{4} = 6^{4}$ と計算してしまう(掛けるのは $3$ だけ)
公比を「差」と混同する(等比は隣の項の"比")