平方根の逆数の和の整数部分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 100項の和は、閉じた式にならない。だが問われているのは整数部分だけ。つまり $18<S<19$ のように、隣り合う整数の間に閉じ込めれば十分だ。

和が求まらないときの常道は、各項を「足すと途中が消える差の形」で置き換えること。有理化の逆向き $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ に気づけるかが勝負になる。

分母の $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}$ を $2\sqrt{k}$ と比べれば、$\frac{1}{\sqrt{k}}$ が差の形で両側からはさめる。

① 各項を両側から評価する。 $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}>2\sqrt{k}$ だから

$$2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{2}{2\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k}}$$

同様に $k\ge 2$ では $\sqrt{k}+\sqrt{k-1}<2\sqrt{k}$ だから

$$\frac{1}{\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$$

② 下からはさむ。 すべての $k$ で左の評価を足すと、間が消えて

$$S>\sum _{k=1}^{100}2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=2(\sqrt{101}-1)$$

$10.04^2=100.8016<101$ より $\sqrt{101}>10.04$ だから $S>2\times 9.04=18.08>18$。

③ 上からはさむ。 第1項の $1$ だけ別に残し、$k\ge 2$ に右の評価を使うと

$$S<1+\sum _{k=2}^{100}2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=1+2(\sqrt{100}-1)=1+18=19$$

④ 結論。 $18<S<19$ だから、$S$ の整数部分は $18$。

まとめ: 「求まらない和は差の形で両側からはさむ」。 ​ の望遠鏡評価は $\frac{1}{\sqrt{k}}$ 型の定番で、端の項($k=1$)だけ正確に残す几帳面さが、上下の幅を1未満に保つ急所になる。

発展 — 一歩先へ。 両側の評価 $2\sqrt{n+1}-2<S_n\le 2\sqrt{n}-1$ は、$S_n$ が「$2\sqrt{n}+(\text{定数程度})$」で成長することを示している。差の形 $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$ は、数学IIIで学ぶ $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}$ の離散版そのもの。「和を積分で評価する」という強力な一般手法の、最初の一歩がこの問題だ。

別解

評価を予想して帰納法で確定する(発見と検証の分業)。 はさむ不等式そのものを目標として、数学的帰納法で示す手もある。主張はこうだ:

$$2\sqrt{n+1}-2<S_n\le 2\sqrt{n}-1(S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}})$$

$n=1$: 左は $2\sqrt{2}-2\approx 0.83<1$、右は $2-1=1$ で成立(右は等号)。

ステップ: $S_{n+1}=S_n+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ に仮定を使う。右側は

$$S_{n+1}\le 2\sqrt{n}-1+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\le 2\sqrt{n+1}-1$$

(最後の不等号は $\frac{1}{\sqrt{n+1}}\le 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$、つまり $\sqrt{n}\le \sqrt{n+1}$ に帰着。)左側も同様に $\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge 2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})$ から進む。

$n=100$ で $2\sqrt{101}-2>18.08$ と $2\sqrt{100}-1=19$ が出て、本解と同じ結論になる。

望遠鏡(本解)は評価を発見する道、帰納法は予想した評価を検証する道。入試では「$2\sqrt{n+1}-2<S_n<2\sqrt{n}-1$ を示せ」と誘導されることも多く、そのときはこの帰納法(または本解の項別評価)がそのまま答案になる。