奇数の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1+3+5+7+9+11$ — 奇数を $6$ 個足す。

これは等差数列の和(初項 $1$、公差 $2$、項数 $6$、末項 $11$)。

$$S=\frac{(\text{項数})\times (\text{初項}+\text{末項})}{2}=\frac{6\times (1+11)}{2}=\frac{6\times 12}{2}=36$$

答えは $36$。

ここで、$36$ という数に注目してほしい。

$$36=6^2$$

項数($6$)の $2$ 乗になっている!

偶然だろうか。 — 偶然ではない。

$$\boxed{1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2}$$

「最初の $n$ 個の奇数を足すと、$n^2$ になる」 — 数学で最も美しい事実のひとつだ(別解で、その理由を絵で見る)。

① 何個の和か確かめる。 $1,3,5,7,9,11$ は $6$ 個。第 $k$ 項は $2k-1$。

② 公式で計算する。 奇数 $n$ 個の和は $n^2$。

$$1+3+\cdots +11=6^2=36$$

(等差数列の和でも同じ:$\frac{6}{2}(1+11)=3\times 12=36$。)

まとめ:奇数を順に足すと $1,4,9,16,\dots$ と平方数になる。$n$ 個の和が $n^2$ という美しい関係。等差の和の公式でもすぐ確かめられる。

発展 — 一歩先へ。 「奇数の和が平方数」という事実は、物理学の重要な発見にもつながっている。

ガリレオの落体の法則($1604$ 年頃)。

斜面を転がる球の、$1$ 秒ごとの移動距離を測ると:

$$1,3,5,7,9,\dots (\text{奇数の比!})$$

そして、累積距離は

$$1,4,9,16,25,\dots (\text{平方数!})$$

「落下距離は、時間の $2$ 乗に比例する。」

$$s=\frac{1}{2}g{t}^2$$

ガリレオは、この関係を「奇数の和」として発見した。

なぜ奇数になるのか。 等加速度運動では、速度が一定の割合で増える(等差数列)。そして距離は速度の和(等差数列の和)。

「等差数列を足すと、平方数が出る」 — この数学的事実が、落下運動の法則として現れた。

望遠鏡も微積分もない時代に、ガリレオは斜面と水時計だけで、この法則を見抜いた。

そして、この法則が、ニュートン力学の出発点になった。

同じ構造は、他にもある。

「$1$ 秒後、$2$ 秒後、$3$ 秒後 $\dots$ の落下距離の比が $1:3:5:\cdots$」

これは、加速度が一定であることの、直接的な証拠だ。

もし空気抵抗があれば、この比は崩れる(奇数の等差から外れる)。ガリレオは、理想化された運動(真空中の落下)を数学的に捉えることで、法則を発見した。

「現実を理想化し、数学で捉える」 — これが近代科学の方法である。

$1+3+5+\cdots$ という単純な足し算。 それは、$400$ 年前に「物体はどう落ちるか」を人類に教えた、最初の数式だった。

数学が、世界を記述する言語である — その最初の証拠が、ここにある。

別解

「奇数の和が平方数になる」理由は、$1$ 枚の絵で分かる。 計算も証明もいらない — 見れば分かるのだ。

正方形を、L字型に育てていく。

$1$ 個の点から始める。

$$\bullet$$

$1\times 1$ の正方形。 点は $1$ 個($=1^2$)。

これを $2\times 2$ に拡張するには、何個の点を足すか?

$$\begin{array}{cc}\bullet & \circ \\ \circ & \circ \end{array}$$

$\circ$ が新しく足した点。$3$ 個だ!(右に $1$ 個、下に $1$ 個、角に $1$ 個。)

$$1+3=4=2^2$$

次は $3\times 3$ に拡張。何個足すか?

右の列($2$ 個)+ 下の行($2$ 個)+ 角($1$ 個)= $5$ 個。

$$1+3+5=9=3^2$$

$4\times 4$ にするには?

右の列($3$)+ 下の行($3$)+ 角($1$)= $7$ 個。

$$1+3+5+7=16=4^2$$

気づいただろうか。

$$\boxed{\text{正方形を 1 回り大きくするのに必要な点の数は、必ず"奇数"}}$$

なぜ奇数か。 「右の列 $n$ 個」+「下の行 $n$ 個」+「角 $1$ 個」$=2n+1$ — 必ず奇数だ。

この L 字型の追加部分を「グノモン」という(古代ギリシャの日時計の部品にちなむ)。

そして、$n$ 回目まで足した点の総数は、$n\times n$ の正方形の点の数。

$$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$$

証明終わり。

絵を見るだけで、定理が証明された。 これを「証明なしの証明」(proof without words)という。

この問題では $n=6$。

$$1+3+5+7+9+11=6^2=36✓$$

$6\times 6$ の正方形の点の数 — $36$ 個 ✓

この事実は、$2500$ 年前のピタゴラス学派が知っていた。 彼らは点を並べて数を研究し、「数は形を持つ」と考えた。

三角数、平方数、五角数 — 図形に対応する数の族を、彼らは体系的に調べた。

そして、この事実には実用的な応用もある。

「$n^2$ を計算するのに、掛け算を使わない方法」

$$7^2=1+3+5+7+9+11+13=49$$

足し算だけで、$2$ 乗が計算できる。 初期のコンピュータ(掛け算器を持たない)は、この方法で $2$ 乗を計算していた。

逆に、平方根も求められる。 $49$ から $1,3,5,\dots$ と順に引いていき、$0$ になるまでに何回引けたかを数える — $7$ 回で $0$ になるから $\sqrt{49}=7$。

足し算と引き算だけで、$2$ 乗と平方根が計算できる — 奇数の和という単純な事実が、計算機の設計に使われていた。