Σ の計算(k³ の和)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sum _{k=1}^4{k}^3$ — 項数が $4$ しかない。

公式を使ってもよいが、直接足すほうが速い。

$$1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64=100$$

答えは $100$。

公式でも確かめる。

$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$$

$$\sum _{k=1}^4{k}^3={\left\{\frac{4\times 5}{2}\right\}}^2=10^2=100✓$$

この公式の形に、驚いてほしい。

$${\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2$$

$$\boxed{\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2}$$

「立方の和は、和の $2$ 乗」 — 数学で最も美しい等式のひとつだ。

$n=4$ を代入する。

$$\sum _{k=1}^4{k}^3={\left(\frac{4\times 5}{2}\right)}^2=10^2=100$$

(確かめ:$1+8+27+64=100$。)

まとめ:$\Sigma k^3$ は「$\Sigma k$ の $2$ 乗」という覚えやすい形。$\frac{n(n+1)}{2}$ を先に出し、それを $2$ 乗する。$1^3+2^3+\cdots$ が $(1+2+\cdots {)}^2$ になる不思議な関係だ。

発展 — 一歩先へ。 $\Sigma$ の公式を並べると、そこには「隠れた対称性」がある。

$$\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum k^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2={\left(\sum k\right)}^2$$

$\sum k^3$ だけが、$\sum k$ で書ける — なぜ $3$ 乗だけが特別なのか。

実は、$\sum k^5$ にも似た性質がある。

$$\sum k^5=\frac{1}{3}\left(4{\left(\sum k\right)}^3-{\left(\sum k\right)}^2\right)$$

$\sum k$ の多項式で書ける!

一般に、「奇数乗の和は $\sum k$ の多項式で書ける」(フォールハーバーの定理)。

偶数乗($\sum k^2$、$\sum k^4$)では、こうはいかない。

なぜ奇数乗だけが特別なのか — この問いは、ベルヌーイ数の性質(奇数番目がほとんど $0$)と深く関わっている。

さて、$\Sigma$ の公式が、より遠くまで届く話をしよう。

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ は、$n\to \infty$ でどうなるか?

$$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots =?$$

この和は収束する(各項が急速に小さくなるので)。では、いくつに?

この問題は「バーゼル問題」と呼ばれ、$90$ 年間、誰も解けなかった。

$1735$ 年、$28$ 歳のオイラーが解いた。

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

$\pi$ が現れた!

整数の $2$ 乗の逆数を足しただけなのに、なぜ円周率が出てくるのか。 — この驚きが、オイラーを一躍有名にした。

そして、この和はリーマンゼータ関数の特殊値である。

$$\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^s}$$

$$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6},\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$$

偶数のときは、$\pi$ のべきできれいに書ける。

しかし $\zeta (3)$(奇数)は? — $300$ 年経った今も、閉じた形が分かっていない。

そして、$\zeta (s)$ の"零点"の位置を問うのが、$\text{リーマン予想}$ — 数学最大の未解決問題($100$ 万ドルの懸賞金がかかっている)である。

$1^3+2^3+3^3+4^3=100$ という素朴な計算。 その延長線上に、人類がまだ到達できていない未踏の地が広がっている。

別解

「立方の和 $=$ 和の $2$ 乗」— この驚くべき事実を、確かめて、味わおう。

まず、数値で確認する。

すべて一致!

これを「ニコマコスの定理」という($2$ 世紀のギリシャの数学者にちなむ)。

言い換えると

$$1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n{)}^2$$

「立方数の和が、三角数の $2$ 乗になる」

$$1,9,36,100,225,\dots (\text{三角数 }1,3,6,10,15\text{の 2 乗!})$$

なぜ、こんなことが起こるのか。

絵で見る証明(その $1$): 正方形の中の L 字。

$1$ 辺 $(1+2+3+4)=10$ の正方形を考える(面積 $100$)。

この正方形を、L 字型の"層"に分ける。

• $1$ 番目の層: $1\times 1$ の正方形($=1^3$ の面積に相当)
• $2$ 番目の層: $2$ 個の $2\times 2$ 正方形($=2\times 4=8=2^3$)
• $3$ 番目の層: $3$ 個の $3\times 3$ 正方形($=3\times 9=27=3^3$)
• $4$ 番目の層: $4$ 個の $4\times 4$ 正方形($=4\times 16=64=4^3$)

各層の面積が、ちょうど $k^3$ になる!

$$1+8+27+64=100=10^2✓$$

大きな正方形($10\times 10$)が、立方数の層で、ぴったり埋め尽くされた。

絵で見る証明(その $2$): 掛け算の表。

$1$ から $4$ までの掛け算の表(九九の表の一部)を作る。

この表の全部の数を足すと?

各行の和は、$1,2,3,4$ の倍数になっている。

$$\text{全体の和}=(1+2+3+4)\times (1+2+3+4)=10\times 10=100$$

そして、この表を L 字型に区切ると、各 L 字の和が $k^3$ になる。

たとえば、$3$ の L 字($3$ 行目と $3$ 列目)の和は

$$(3+6+9)+(3+6)=18+9=27=3^3✓$$

掛け算の表の中に、立方数が隠れていた。

「なぜ立方の和が、和の $2$ 乗になるのか」 — この問いに、絵が答えている。

数式で証明することもできる(数学的帰納法や、望遠鏡和で)。しかし、絵で見たときの納得感には、かなわない。

美しい定理には、美しい証明がある。 そして最も美しい証明は、しばしば「見るだけ」で終わる。