(等差)×(等比)型の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 各項は $k\times 2^{k-1}$ — 等差($k$)と等比($2^{k-1}$)の積だ。等差の和の公式も等比の和の公式も、単独では通用しない。

この型の定跡は「公比をかけてずらして引く」。

$S$ と $2S$ を書き並べて $S-2S$ を作ると、同じ $2^k$ の列がずれて重なり、引き算で係数の差($k+1$ と $k$ の差 $=1$)だけが残る。つまり大部分がただの等比数列の和に化ける。等比の「かけるとずれる」性質を、消去の道具に使う発想だ。

① $S$ と $2S$ を書く。

$$S=1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +n\cdot 2^{n-1}$$

$$2S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots +(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^n$$

② $S-2S$ を作る。 同じ位の項どうしを引くと、係数の差がすべて $1$ になる。

$$S-2S=1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}-n\cdot 2^n$$

③ 等比数列の和にする。 $1+2+\cdots +2^{n-1}=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1$。

$$-S=(2^n-1)-n\cdot 2^n=(1-n)2^n-1$$

④ 符号を直す。

$$S=(n-1)2^n+1$$

まとめ:(等差)×(等比)の和は「$S-rS$ のずらし引き」が定石。引くと係数がそろって、真ん中が等比数列の和になる。最後に符号($-S$ から $S$)を戻すのを忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 答えの検算は小さい $n$ で。$n=2$ なら $S=1+2\cdot 2=5$、公式は $(2-1)\cdot 4+1=5$。$n=3$ なら $S=5+3\cdot 4=17$、公式は $2\cdot 8+1=17$ — 一致する。

「ずらして引く」は公比が $2$ 以外でも、係数が $2$ 次式($k^2{x}^k$ 型)でも繰り返し使える。$2$ 次なら $2$ 回ずらして引く — 引くたびに係数の次数が $1$ ずつ下がる仕組みで、微分が次数を下げるのとよく似ている。実際、数IIIまで進むと、この和は等比数列の和を微分したものとして一撃で出せるようになる。

別解

係数 $k$ を「$1$ を $k$ 個並べたもの」とみて、和を長方形の表に描き直す視点がある。

$k\cdot 2^{k-1}=\underset{k\text{個}}{\underbrace{2^{k-1}+2^{k-1}+\cdots +2^{k-1}}}$ だから、$S$ は「$j$ 行目に $2^{j-1},2^j,\dots ,2^{n-1}$ を並べた表」の総和として読み替えられる($j$ 行目は $k\geqq j$ の項たちから $1$ つずつ集めたもの)。

行ごとに足すと、各行は初項 $2^{j-1}$・公比 $2$ の等比数列の和で

$$\sum _{k=j}^n{2}^{k-1}=2^n-2^{j-1}$$

これを $j=1$ から $n$ まで足して

$$S=\sum _{j=1}^n\left(2^n-2^{j-1}\right)=n\cdot 2^n-(2^n-1)=(n-1)2^n+1$$

ずらして引く計算と同じ答えだ。「係数を個数と読んで、足す順番を入れ替える」— 二重和の入れ替えという、数え上げにも通じる高い視点である。