階差数列から一般項

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1,3,7,13,21,\dots$。となりの項の差(階差)を見るのが定石。

差をとると $2,4,6,8,\dots$。きれいな等差数列で $b_k=2k$。

もとの数列は、初項に階差を積み上げたもの。公式 $a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k$($n\ge 2$)を使う。

$\Sigma$ を計算すれば一般項が出る。

① 階差を求める。 差をとると $3-1=2,7-3=4,13-7=6,\cdots$。すなわち $b_k=2k$。

② 公式で一般項。 $n\ge 2$ のとき

$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}2k=1+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}=1+n(n-1)=n^2-n+1$$

③ $n=1$ の確認。 $a_1=1^2-1+1=1$。もとの数列の初項と一致するので、$a_n=n^2-n+1$ は $n=1$ でも成り立つ。

まとめ:規則が見えない数列は「階差をとる」。差 $2,4,6,\cdots$ が等差なら、$a_n=a_1+\Sigma b_k$ で復元。${\Sigma }_{k=1}^{n-1}2k=n(n-1)$ に注意($n-1$ までの和)。$n=1$ でも成り立つことの確認で仕上げる。

発展 — 一歩先へ。 数列の階差を繰り返しとって「何階で定数になるか」を見ると、一般項の次数が分かる($p$ 階差分が定数なら $p$ 次式)。これは多項式の差分がニュートンの前進差分公式 $a_n=\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j}\right){\Delta }^j{a}_1$ で書けることの現れ。関数の微分と、数列の差分は双子の関係にある。

別解

別解 — $2$ 次式だと見抜いて係数を当てる(得意な人向けの視点)。 階差 $2,4,6,\dots$ をさらに差をとると $2,2,2,\dots$ で一定。$2$ 階差分が定数なら、一般項は $n$ の $2$ 次式だ。

そこで $a_n=A{n}^2+Bn+C$ とおき、最初の $3$ 項を当てはめる。

$$a_1=A+B+C=1,a_2=4A+2B+C=3,a_3=9A+3B+C=7.$$

差をとると $3A+B=2$、$5A+B=4$。引いて $2A=2$、$A=1$、$B=-1$、$C=1$。

よって $a_n=n^2-n+1$。階差数列の公式で $\Sigma$ を計算する本解と同じ。「$2$ 階差分が一定 $\Rightarrow$ 何次式か」が分かると、未知の係数を連立で決めるだけ。$1$ 階差分が一定なら $1$ 次(等差)、$2$ 階なら $2$ 次、という対応は覚えておくと速い。