奇数の積の部分分数の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$。分母が $2$ つの因数の積で、差が一定($2k+1$ と $2k-1$ の差は $2$)。

こういうときは部分分数。$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$ と差に分ける。

分子の $\frac{1}{2}$ は、$2$ つの因数の差 $2$ の逆数から来る。

差の形にできれば telescoping。隣どうしが消えて両端が残る。

① 部分分数に分ける。

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$$

② 和をとる(telescoping)。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2n+1}\right)$$

③ 整理する。

$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2n+1)-1}{2n+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}$$

まとめ:奇数の積の部分分数は「$\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$」。分母の差 $2$ が $\frac{1}{2}$ の係数になる。telescoping で両端 $1$ と $\frac{1}{2n+1}$ が残り、整理して $\frac{n}{2n+1}$。

発展 — 一歩先へ。 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}$。部分分数 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$ が telescoping する。似た形でも $\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}$ を足すと $\log 2$(交代調和級数)になり、こちらは telescoping せず収束が遅い。差の“かみ合い方”が鍵だ。

別解

別解 — 数学的帰納法で公式を裏づける(苦手な人向けの確認ルート)。 部分分数を思いつかなくても、答え $\frac{n}{2n+1}$ を予想して帰納法で証明できる。

$n=1$:左辺 $\frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{3}$、右辺 $\frac{1}{3}$ で一致。

$n$ で成り立つと仮定して、$n+1$ 項目 $\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$ を足す。

$$\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}.$$

分子は $(2n+1)(n+1)$ と因数分解できるから $\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2n+3}$。これは $n+1$ のときの式そのもの。

telescoping で一気に出す本解と同じ $\frac{n}{2n+1}$。予想が立てば帰納法で必ず裏がとれる。$n\to \infty$ では $\frac{1}{2}$ に収束する(奇数の逆数の積の級数)。