Σ の計算(1次式・一般項)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\Sigma$ の中が $3k-1$ という $1$ 次式。基本の型なので、項ごとに分けて公式へ。

$$\sum _{k=1}^n(3k-1)=3\sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^{n}1=3\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n$$

あとは共通因数 $n$ でくくって整理するだけだ。

$\sum 1=n$($1$ を $n$ 回足す)を落とさないこと。ここが $1$ 次式の $\Sigma$ でいちばん多いミスになる。

① 項ごとに分ける。

$$\sum _{k=1}^n(3k-1)=3\sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^{n}1=3\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n$$

② $n$ でくくって整理する。

$$=\frac{3n(n+1)}{2}-n=\frac{3n(n+1)-2n}{2}=\frac{n\{3(n+1)-2\}}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}$$

(確かめ:$n=5$ で $\frac{5\cdot 16}{2}=40$。実際 $2+5+8+11+14=40$。)

まとめ:$\Sigma$ の $1$ 次式は「分けて公式 → $n$ でくくる」。この数列は初項 $2$、公差 $3$ の等差数列なので、和の公式 $\frac{n}{2}(a_1+a_n)$ でも同じ答えになる。

発展 — 一歩先へ。 $n=1$ で $2$、$n=2$ で $2+5=7$ — 公式 $\frac{n(3n+1)}{2}$ も $1$ と $2$ でそれぞれ $2,7$ を返す。小さい $n$ の検算は $1$ 次式の $\Sigma$ でも欠かさない。

ここで出た $\frac{n(3n+1)}{2}$ は五角数と呼ばれる数列($2$ 倍して符号を調整した親戚が正確な五角数)で、点を五角形状に並べたときの総数に対応する。三角数($\Sigma k$)・四角数(平方数)・五角数… — 等差数列の和は、古代から「図形数」として研究されてきた対象そのものだ。

別解

中身が $1$ 次式の $\Sigma$ は、等差数列の和そのものだ。公式を経由せず「(初項 $+$ 末項)$\times$ 項数 $÷2$」で一撃で出せる。

$3k-1$ は $k=1$ で $2$、$k=n$ で $3n-1$。公差 $3$ の等差数列を $n$ 項足すのだから

$$\sum _{k=1}^n(3k-1)=\frac{(2+(3n-1))\cdot n}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}$$

これは少年ガウスの逸話で有名な数え方 — 列を逆順に重ねると、どのペアも同じ和($2+(3n-1)=3n+1$)になり、それが $n$ 組できるから $2$ で割る。

$\Sigma$ 記号で書かれていても、中身が $1$ 次式なら正体は等差数列。「$\Sigma$ の公式」と「等差の和の公式」のどちらでも解けることを知っていると、速い方を選べるし、互いの検算にもなる。