Σ の計算(k の和)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sum _{k=1}^{10}k$ は、「$k$ に $1$ から $10$ を順に入れて、全部足す」という意味。

$$1+2+3+\cdots +10$$

公式がある。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum _{k=1}^{10}k=\frac{10\times 11}{2}=55$$

この公式は、等差数列の和の公式そのものである(初項 $1$、末項 $n$、項数 $n$)。

$$\frac{n(1+n)}{2}$$

$\Sigma$ 記号におびえないこと。 「$k$ に順に数を入れて足す」— それだけの意味だ。

$\Sigma$ の下が $k=1$、上が $10$ — $k$ を $1$ から $10$ まで動かす、という指示である。

$n=10$ を代入する。

$$\sum _{k=1}^{10}k=\frac{10\times 11}{2}=55$$

これは $1+2+\cdots +10$ を等差数列の和とみても同じ(初項 $1$、末項 $10$、項数 $10$ で $\frac{10}{2}(1+10)=55$)。

まとめ:$\Sigma k$ は「$1$ から $n$ までの合計」。公式 $\frac{n(n+1)}{2}$ は等差数列の和そのもの。数え上げの基本になる。

発展 — 一歩先へ。 三角数($1,3,6,10,15,\dots$)には、驚くべき性質がある。

性質1: 連続する $2$ つの三角数を足すと、平方数になる。

$$1+3=4=2^2$$ $$3+6=9=3^2$$ $$6+10=16=4^2$$ $$10+15=25=5^2$$

図で見れば当たり前だ。 $2$ つの三角形を組み合わせると、正方形になる(片方は $n$ 段、もう片方は $n-1$ 段)。

$$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n+1+n-1)}{2}=\frac{n\cdot 2n}{2}=n^2✓$$

性質2: フェルマーの多角数定理。

「どんな自然数も、$3$ 個以下の三角数の和で表せる。」

$$5=1+1+3,12=6+6,20=10+10,100=91+6+3$$

この定理を、ガウスは $19$ 歳のときに証明した。 彼の日記($1796$ 年 $7$ 月 $10$ 日)には、こう記されている。

$$\text{EYPHKA! num}=\Delta +\Delta +\Delta$$

「わかった!(エウレカ!)すべての数は、$3$ つの三角数の和である。」

アルキメデスの「エウレカ」を、ギリシャ文字でそのまま書いている — $19$ 歳の若者の興奮が、$200$ 年後の私たちに伝わってくる。

性質3: 三角数と組合せ。

$$\frac{n(n+1)}{2}={}_{n+1}{\mathrm{C}}_2$$

「$n+1$ 個から $2$ 個を選ぶ選び方」 と同じ数だ!

なぜか。 $n+1$ 個の点から $2$ 個を選んで線で結ぶと、線の本数は $\frac{(n+1)n}{2}$ 本 — 握手の回数である。

「$11$ 人が全員と握手すると、何回の握手が起こるか?」 — 答えは $55$ 回。この問題の答えと同じ!

$1+2+\cdots +10={}_{11}{\mathrm{C}}_2=55$

足し算の問題と、組合せの問題が、同じ答えを持つ。

同じ数が、違う顔を持って現れる — これが数学の面白さだ。三角形の点の数、握手の回数、$\Sigma$ の値 — すべて $55$ という $1$ つの数に収束している。

別解

この和 $55$ には、$2$ つの美しい"顔"がある。三角形と、ガウスの工夫だ。

顔1: 三角数(点を三角形に並べる)。

点を、こう並べてみよう。

$$\begin{array}{c}\bullet \\ \bullet \bullet \\ \bullet \bullet \bullet \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \end{array}$$

$1$ 段目に $1$ 個、$2$ 段目に $2$ 個、$3$ 段目に $3$ 個 $\dots$ $n$ 段目に $n$ 個。

全部で何個か? — それが $\sum _{k=1}^{n}k$ だ。

この三角形の形から、公式が"見える"。

同じ三角形を、もう $1$ つ用意して、逆さまにしてくっつける。

$$\begin{array}{c}\bullet \circ \circ \circ \circ \\ \bullet \bullet \circ \circ \circ \\ \bullet \bullet \bullet \circ \circ \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \circ \end{array}$$

長方形になった!

• 縦: $n$ 段($=4$)
• 横: $n+1$ 個($=5$)

長方形の点の総数は $n(n+1)$。 その半分が、三角形の点の数だ。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}✓$$

図形が、公式を証明した。

この数を「三角数」という。 $1,3,6,10,15,21,\dots$ — ボウリングのピン($10$ 本 $=$ 第 $4$ 三角数)や、ビリヤードのラック($15$ 個 $=$ 第 $5$ 三角数)は、まさに三角数だ。

顔2: ガウスの工夫(逆順に足す)。

$$S=1+2+3+\cdots +10$$ $$S=10+9+8+\cdots +1$$

縦に足すと、すべて $11$。

$$2S=11\times 10=110⟹S=55✓$$

$2$ つの顔は、同じ真実を語っている。 「逆順に足す」は、「三角形を逆さまにくっつける」の代数版なのだ。

そして、$\Sigma$ の性質を押さえておこう。

$$\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k(\text{バラせる})$$

$$\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum a_k(\text{定数は外に出せる})$$

$$\sum _{k=1}^{n}c=cn(\text{定数の和は、個数倍})$$

最後の式に注意。 $\sum _{k=1}^{n}3=3n$ であって、$3$ ではない — $k$ が式に現れなくても、$n$ 回足すのだ。

「$\Sigma$ は線形」 — 積分や微分と同じ性質を持っている。バラして計算できるのは、この線形性のおかげである。