群数列(奇数の群)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 群に分かれているが、中身は奇数の列 $1,3,5,\dots$ そのものだ。

奇数には強い味方がある。先頭から $m$ 個足すと、ちょうど $m^2$ になる。

第 $n$ 群の和は、直接足さなくてよい。「第 $n$ 群までの和」から「前の群までの和」を引けば出る。

だから通算で何番目までかを数え、既知の和 $m^2$ の差でとる。群数列と和の公式の合わせ技だ。

① 各群の切れ目(通算の個数)を出す。 第 $n$ 群までの奇数の個数は

$$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

第 $(n-1)$ 群までは $\frac{(n-1)n}{2}$ 個。

② 奇数の和の公式を使う。 先頭から $m$ 個の奇数の和は $m^2$。第 $n$ 群の和は「第 $n$ 群までの和」から「第 $(n-1)$ 群までの和」を引く。

$$(\frac{n(n+1)}{2}{)}^2-(\frac{n(n-1)}{2}{)}^2$$

③ 計算する。 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ を使う。$A=\frac{n(n+1)}{2}$、$B=\frac{n(n-1)}{2}$。

$$A+B=\frac{n(n+1)+n(n-1)}{2}=\frac{2n^2}{2}=n^2,A-B=\frac{n(n+1)-n(n-1)}{2}=\frac{2n}{2}=n$$

$$\text{第 }n\text{ 群の和}=n^2\times n=n^3$$

まとめ:群数列の「群の和」は、累積の和の引き算で出す。奇数の和が平方数 $m^2$ になる性質と、$A^2-B^2$ の因数分解が組み合わさって、きれいに $n^3$ になる。

発展 — 一歩先へ。 第 $n$ 群の和が $n^3$ になったことから、面白い等式が引き出せる。

第 $1$ 群から第 $n$ 群までの和をぜんぶ足すと $1^3+2^3+\cdots +n^3$ だ。一方それは「先頭から $\frac{n(n+1)}{2}$ 個の奇数の和」でもある。奇数を $m$ 個足すと $m^2$ だから、この総和は ${\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$。

つまり $1^3+2^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=(1+2+\cdots +n{)}^2$。立方の和が「和の $2$ 乗」に等しいという有名な公式が、群の和からそのまま出てくる。

別解

別解 — 第 $n$ 群の最初と最後を直に求める(苦手な人向けの具体ルート)。 累積の引き算を使わず、第 $n$ 群に並ぶ奇数を正面から書き下す。

第 $(n-1)$ 群までに奇数は $1+2+\cdots +(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$ 個ある。$m$ 番目の奇数は $2m-1$ だから、第 $n$ 群の最初の奇数は

$$2\left(\frac{(n-1)n}{2}+1\right)-1=n^2-n+1.$$

第 $n$ 群には奇数が $n$ 個。公差 $2$ で並ぶので、最後の奇数は $n^2-n+1+2(n-1)=n^2+n-1$。

$n$ 個の等差数列の和は (最初 $+$ 最後)$\times$ 個数 $÷2$ だから

$$\frac{(n^2-n+1)+(n^2+n-1)}{2}\times n=\frac{2n^2}{2}\times n=n^3.$$

累積の差でとった本解と同じ $n^3$。最初と最後さえ押さえれば、等差数列の和の公式だけで済む。