等差数列の和の最大

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 公差が負だから、項は $20,17,14,\dots$ とだんだん減り、いつか負になる。

和が最大になるのはいつか。正の項を足しているうちは和が増え、負の項を足し始めると減る。 だから「正の項を足し終わった瞬間」が最大だ。

一般項 $a_n=20-3(n-1)=23-3n$ が $0$ 以上である最後の $n$ を探す。$a_n\geqq 0⟺n\leqq \frac{23}{3}=7.6\dots$ — 第 $7$ 項までが正($a_7=2$)、第 $8$ 項から負($a_8=-1$)。よって第 $7$ 項までの和が最大になる。

① 一般項を求める。

$$a_n=20+(n-1)(-3)=23-3n$$

② 正の項の範囲を調べる。 $a_n\geqq 0$ となる $n$ を求める。

$$23-3n\geqq 0\Rightarrow n\leqq \frac{23}{3}=7.6\dots$$

よって $a_7>0$、$a_8<0$。正の項は第 $7$ 項まで。第 $7$ 項まで足すと和が最大。

③ 最大値を求める。 $a_7=23-21=2$。

$$S_7=\frac{7}{2}(a_1+a_7)=\frac{7}{2}(20+2)=\frac{7}{2}\times 22=77$$

まとめ:公差が負の等差数列の和は「正の項を足し切ったところで最大」。$a_n\geqq 0$ の最後の $n$ を求めればよい。負の項を足し始めると和は減っていく、というイメージだ。

発展 — 一歩先へ。 もし $a_n=0$ となる項がぴったり存在したら($23-3n=0$ が整数解を持つ場合)、その項を足しても和は変わらず、「第 $n$ 項まででも第 $n+1$ 項まででも最大」という答えになる。境界の等号の扱いが答えの書き方まで変える — 端の検分の癖はここでも生きる。

別解の $2$ 次関数の見方は、そのまま応用問題(和がはじめて負になる $n$、$S_n$ の最大が与えられて公差を逆算する等)につながる。数列の和を「$n$ の関数」として扱えるようになると、数列とグラフの $2$ つの武器を同時に持てる。

別解

和 $S_n$ そのものを $n$ の式にして、$2$ 次関数として眺める道もある。

$$S_n=\frac{n\{2\cdot 20+(n-1)(-3)\}}{2}=\frac{-3n^2+43n}{2}$$

これは上に凸の放物線($n$ の $2$ 次関数)。頂点は

$$n=\frac{43}{6}=7.16\dots$$

ただし $n$ は自然数だから、頂点にいちばん近い整数 $n=7$ で最大。$S_7=\frac{-3\cdot 49+43\cdot 7}{2}=\frac{154}{2}=77$。

「項の符号で見る」(本解)と「和のグラフの頂点で見る」(この別解)は同じ答えを別の景色で出す。実は $2$ つはつながっている — $S_n$ の増減の境目($S_n-S_{n-1}=a_n$ の符号が変わる場所)が、まさに放物線の頂点の近くだ。和の増減を項の符号が握っている、という数列の基本構造がここに見える。