等差中項・等比中項

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$3$ 数が等差(等比)」— 真ん中の項が主役だ。

(1) 等差数列 $4$、$x$、$16$。

等差なら、隣どうしの"差"が等しい。

$$x-4=16-x$$

$$2x=20⟹x=10$$

$x$ は $4$ と $16$ の相加平均である。

$$x=\frac{4+16}{2}=10$$

(2) 等比数列 $4$、$y$、$9$。

等比なら、隣どうしの"比"が等しい。

$$\frac{y}{4}=\frac{9}{y}⟹y^2=36⟹y=\pm 6$$

$y>0$ という条件から

$$y=6$$

$y$ は $4$ と $9$ の相乗平均($\sqrt{4\times 9}=6$)である。

「等差の真ん中は相加平均、等比の真ん中は相乗平均」 — これが中項の正体だ。

(1) $4,x,16$ が等差数列。まん中 $x$ は両どなりの平均。

$$2x=4+16=20\Rightarrow x=10$$

(2) $4,y,9$ が等比数列。まん中 $y$ の $2$ 乗は両どなりの積。

$$y^2=4\times 9=36\Rightarrow y=\pm 6$$

$y>0$ なので $y=6$。

まとめ:$3$ 項が並ぶとき、等差なら「まん中 = 平均」、等比なら「まん中の $2$ 乗 = 積」。等比中項は $\pm$ が出るので、符号の条件を必ず確認する。

発展 — 一歩先へ。 平均は、相加平均と相乗平均だけではない。第 $3$ の平均がある。

調和平均。

$$H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$$

「逆数の相加平均の、逆数」 — ややこしいが、意味は明確だ。

$4$ と $16$ の調和平均。

$$H=\frac{2\times 4\times 16}{4+16}=\frac{128}{20}=6.4$$

$3$ つの平均を比べる。

$$\underset{\text{相加}}{\underbrace{10}}>\underset{\text{相乗}}{\underbrace{8}}>\underset{\text{調和}}{\underbrace{6.4}}$$

$$\boxed{(\text{相加平均})\geqq (\text{相乗平均})\geqq (\text{調和平均})}$$

美しい階層!(等号は $a=b$ のときのみ。)

調和平均は、いつ使うのか。

「速さ」の平均だ。

「行きは時速 $4$ km、帰りは時速 $16$ km で、同じ道を往復した。平均の速さは?」

相加平均($10$ km/h)? — 違う!

距離を $16$ km として計算しよう。

• 行き: $16÷4=4$ 時間
• 帰り: $16÷16=1$ 時間
• 合計: 往復 $32$ km を、$5$ 時間

$$(\text{平均の速さ})=\frac{32}{5}=6.4\text{km/h}$$

調和平均と一致した! ✓

「同じ距離を、違う速さで移動したときの平均速度」は、調和平均になる。

なぜか。 遅いほうに、より多くの時間を費やすからだ — 遅い側に引っ張られる。

$3$ つの平均の使い分け。

「平均」という言葉は $1$ つでも、中身は $3$ つある。

そして、どれを使うかで、答えがまったく変わる。

統計やデータを扱うとき、「その平均は正しい平均か?」と問う習慣を持ちたい。 相加平均を機械的に使うと、しばしば現実を見誤る。

$4$、$x$、$16$ という素朴な等差数列の問題。 その先には、「平均とは何か」という、意外に深い問いが待っている。

別解

この $2$ つの答えを比べると、有名な不等式が姿を現す。 数列と不等式が、$1$ つの構造で結ばれる瞬間だ。

同じ $2$ 数($4$ と $16$)で、両方の中項を計算してみよう。

等差中項(相加平均)。

$$\frac{4+16}{2}=10$$

等比中項(相乗平均)。

$$\sqrt{4\times 16}=\sqrt{64}=8$$

比べる。

$$10>8$$

相加平均のほうが大きい!

これは偶然ではない。

$$\boxed{\frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}(a,b>0)}$$

相加平均・相乗平均の関係(数IIで学んだ)。

等号が成り立つのは $a=b$ のときだけ。 $4\ne 16$ なので、この場合は $>$ ✓

「等差中項 $\geqq$ 等比中項」 — 数列の言葉で言い換えると、こうなる。

証明も、$1$ 行だ。

$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{2}\geqq 0✓$$

平方の非負性 — 数IIの不等式の証明で学んだ、あの技だ。

さて、$2$ つの平均には、どんな意味の違いがあるのか。

具体例で考えよう。

「株価が、$1$ 年目に $2$ 倍、$2$ 年目に $8$ 倍になった。平均すると、年何倍か?」

相加平均だと

$$\frac{2+8}{2}=5\text{倍}$$

「毎年 $5$ 倍」と考えると、$2$ 年で $5^2=25$ 倍。

しかし、実際は $2\times 8=16$ 倍にしかなっていない!

相乗平均なら

$$\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4\text{倍}$$

「毎年 $4$ 倍」なら、$2$ 年で $4^2=16$ 倍 ✓ 実際と一致する!

$$\boxed{\text{「倍率」の平均は、相乗平均で計算する}}$$

足し算的な量(身長、点数、気温)は相加平均。 掛け算的な量(成長率、利率、倍率)は相乗平均。

この使い分けを間違えると、投資の話で騙される。

「$1$ 年目 $+50\%$、$2$ 年目 $-50\%$。平均すると $0\%$ だから、元本は変わらない?」

違う!

$$1.5\times 0.5=0.75(\text{25\% の損失!})$$

相乗平均で計算すると

$$\sqrt{1.5\times 0.5}=\sqrt{0.75}\approx 0.866(\text{年 }-13.4\%)$$

「平均 $0\%$」は嘘で、実際は年 $13\%$ ずつ減っている。

相加平均($0\%$)$>$ 相乗平均($-13.4\%$) — 不等式が、そのまま"損失"を表している。

この差を「ボラティリティ・ドラッグ」と呼び、金融工学の重要な概念になっている。

等差中項と等比中項の違い。 それは、教科書の中の話ではなく、あなたの資産を守る知識なのである。