平方の逆数の和の上からの評価

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{k^2}$ の和に公式はない。そこで、少し大きくて和が求まる形に取り替える: $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{(k-1)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$。差の形だから、足すと望遠鏡式に消える。

ただし $k=2$ から全部取り替えると、上界は $2$ までしか下がらず $\frac{7}{4}$ に届かない。

評価の粗さは「どこから始めるか」で調整できる。 最初の2項 $1+\frac{1}{4}$ を正確に残し、$k=3$ から取り替えるのが急所だ。

① 各項の評価($k\ge 3$)。 $k^2>k(k-1)>0$ だから

$$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{(k-1)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$$

② $n\ge 3$ のとき。 最初の2項を残して足し上げると、差の和は間が消えて

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}<1+\frac{1}{4}+\sum _{k=3}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)$$

$\frac{1}{n}>0$ だから

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}<1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{7}{4}$$

③ 小さい $n$ を確かめる。 $n=1$: $1<\frac{7}{4}$。$n=2$: $1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}<\frac{7}{4}$。よってすべての自然数 $n$ で成り立つ。

まとめ: 「和が求まる形(積の分母 → 差)への取り替え」と「取り替え開始位置の調整」の2段構え。ちなみにこの和は $n$ を限りなく大きくしても $1.6449\cdots$ 程度にしかならないことが知られていて、$\frac{7}{4}$ の壁はこの初等的な評価だけで保証できる。

発展 — 一歩先へ。 この和は $n$ を限りなく大きくすると $\frac{{\pi }^2}{6}=1.6449\cdots$ に収束することが知られている(バーゼル問題。オイラーが1735年に解いた)。$\frac{7}{4}=1.75$ も別解の $\frac{5}{3}=1.666\cdots$ も、その真の値のすぐ外側に立つ壁だ。初等的な望遠鏡評価だけで、円周率の潜む定数の $98\%$ 精度まで迫れている。

別解

分母を半分だけずらす(さらに鋭い上界 $\frac{5}{3}$)。 取り替え先を $\frac{1}{(k-1)k}$ でなく、$k$ を中心に半分ずつずらした積にすると、評価が一段と鋭くなる。

$$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\left(k-\frac{1}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{k-\frac{1}{2}}-\frac{1}{k+\frac{1}{2}}$$

(分母を小さくしたので分数は大きくなる。そして差の形なので消える。)今度は $k=2$ から使ってよい:

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}<1+\sum _{k=2}^n\left(\frac{1}{k-\frac{1}{2}}-\frac{1}{k+\frac{1}{2}}\right)=1+\frac{1}{3/2}-\frac{1}{n+\frac{1}{2}}<1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$$

$\frac{5}{3}<\frac{7}{4}$ だから、求める不等式はさらに強い形で示せた。

本解の「開始位置の調整」に対して、こちらは「取り替え先の設計」で精度を稼ぐ。中心 $k$ から対称に $\pm \frac{1}{2}$ ずらすと誤差が打ち消し合う、という感覚は評価問題の宝物だ。