(等差)×(等比)の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 各項は (等差 $2k-1$)×(等比 $3^{k-1}$) の形。等差でも等比でもない。

こういう和は、$S$ と公比倍の $3S$ を $1$ 段ずらして引く。$S-3S$ を作るのが定石だ。

引くと各位の係数がそろい、真ん中が等比数列の和になる。あとは機械的に片づく。

係数が $2k-1$ でも、「公比倍してずらし引き」の型は変わらない、と確認して始める。

① $S$ と $3S$ を書く。

$$S=1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+\cdots +(2n-1)\cdot 3^{n-1}$$

$$3S=1\cdot 3+3\cdot 3^2+\cdots +(2n-3)\cdot 3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^n$$

② $S-3S$ を作る。 同じ位を引くと係数の差はすべて $2$。

$$S-3S=1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots +2\cdot 3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^n$$

③ 真ん中を等比の和にする。 $3+3^2+\cdots +3^{n-1}=\frac{3^n-3}{2}$ なので、$2\times \frac{3^n-3}{2}=3^n-3$。

$$-2S=1+(3^n-3)-(2n-1)3^n=3^n-2-(2n-1)3^n=(2-2n)3^n-2$$

④ $S$ を求める。 両辺を $-2$ で割る。

$$S=(n-1)3^n+1$$

まとめ:(等差)×(等比)は $S-rS$ で係数をそろえるのが定石。ここは公比 $3$ なので $S-3S=-2S$。真ん中の等比和と最後の項をていねいに扱えば、機械的に closed form が出る。

発展 — 一歩先へ。 (等差)×(等比) の和は、公比 $r$ を変えても「($n$ の $1$ 次式)$\times r^n+$定数」の形に必ずまとまる。

$r$ を $1$ に近づけると $r^{k-1}$ が消え、ただの等差数列の和 $\sum (2k-1)=n^2$ に戻る。(等差)×(等比) は、等差の和と等比の和のあいだをつなぐ形だと見える。

一方 $r=3$ では $r^n$ が急に伸びるので、和も $n\cdot 3^n$ の勢いで増える。無限に足すと発散する。等比の部分が $|r|<1$ のときだけ、無限和が有限に収まる。

別解

別解 — 和を「差の形」に作りかえる(得意な人向けの視点)。 ずらし引きのかわりに、各項を $f(k)-f(k-1)$ という差に書ければ、和は一気に telescoping する。

$f(k)=(k-1)\cdot 3^k$ とおいてみる。となりとの差を計算すると

$$f(k)-f(k-1)=(k-1)3^k-(k-2)3^{k-1}=3^{k-1}\{3(k-1)-(k-2)\}=3^{k-1}(2k-1).$$

ちょうど求めたい項 $(2k-1)3^{k-1}$ に一致する。だから

$$S=\sum _{k=1}^n\{f(k)-f(k-1)\}=f(n)-f(0)=(n-1)3^n-(-1)=(n-1)3^n+1.$$

ずらし引きで出した本解と同じ答え。$f(k)=(k-1)3^k$ という「差のもと」を見つけられれば、書き出しも引き算もいらない。(等差)×(等比) の和は、いつでもこの形の $f$ をもつ。