数学B / 数列

二重和

★★★ 応用シグマ二重和

問題

$i = 1 \sum n (j = 1 \sum i j)$ を $n$ の式で表せ。

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内側の和を先に閉じて $i$ の式にする。すると外側はただの $\sum$ の計算になる — 二重和は内から外へ、が原則。

解答・解説

二重和は内側から計算する。内側の $j = 1 \sum i j = \frac{i ( i + 1 )}{2}$ をまず求め、それを $i$ について $1$ から $n$ まで足す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{i} j)$ は和の中に和が入った二重和だ。

二重和は内側から手をつける。まず内側 $\sum_{j = 1}^{i} j = \frac{i ( i + 1 )}{2}$ を $i$ の式に閉じる。

内側が閉じれば、外側はただの $\sum$ になる。 $i$ について $1$ から $n$ まで足すだけだ。

二重和は「内を先に公式で潰してから外」。この順序を守るのが発想の核だ。

重要二重和は内側から。内側の和を

i

の式にしてから、外側で

i

について足す

① 内側の和を計算する。 $j$ について $1$ から $i$ まで。

$j = 1 \sum i j = \frac{i ( i + 1 )}{2}$

② 外側で $i$ について足す。

$i = 1 \sum n \frac{i ( i + 1 )}{2} = \frac{1}{2} i = 1 \sum n (i^{2} + i) = \frac{1}{2} (\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + \frac{n ( n + 1 )}{2})$

③ 共通因数でまとめる。 中を $\frac{n ( n + 1 )}{6}$ でくくると ${(2 n + 1) + 3} = 2 n + 4 = 2 (n + 2)$ 。

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{n ( n + 1 ) \cdot 2 ( n + 2 )}{6} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6}$

まとめ:二重和は「内側 → 外側」の順。内側を先に $i$ の式にすれば、あとはふつうの $Σ$ 計算。 $Σ i (i + 1)$ の結果を使うと、 $\frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6}$ ときれいにまとまる。

発展 — 一歩先へ。 内側の和 $\frac{i ( i + 1 )}{2}$ は三角数、つまり点を三角形に並べた個数だ。それをさらに積み上げた $\frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6}$ は四面体数、球を三角錐に積んだ個数にあたる。

$1$ ( $0$ 次元の点)を足すと三角数( $2$ 次元)、三角数を足すと四面体数( $3$ 次元)。 $\sum$ を一度とるたびに「次元」が $1$ つ上がっていく。

これは関数を積分すると次数が $1$ 上がるのと同じ現象だ。和は離散版の積分で、 $1$ 次式の和は $2$ 次、 $2$ 次式の和は $3$ 次になる。次数を数えるだけで、答えの形をあらかじめ見通せる。

答

$\frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6}$

別解 — 二項係数の斜め和とみる(得意な人向けの視点)。 内側の三角数を二項係数に翻訳すると、有名な「斜めの和」の公式で一気に出る。

内側の和は $\sum_{j = 1}^{i} j = \frac{i ( i + 1 )}{2} = (2 i + 1)$ 。だから求める二重和は

$i = 1 \sum n (2 i + 1) = (2 2) + (2 3) + \dots + (2 n + 1) .$

パスカルの三角形で、同じ列 $(2 m)$ を上から足していくと、 $1$ つ右下の値になる。式で書くと $\sum_{m = 2}^{n + 1} (2 m) = (3 n + 2)$ (ホッケースティックの等式)。よって

$i = 1 \sum n (j = 1 \sum i j) = (3 n + 2) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} .$

$\sum i^{2}, \sum i$ に分けて計算する本解と同じ答え。三角数 $= (2 i + 1)$ と見ると、和が四面体数 $(3 n + 2)$ にまとまる仕組みが見通せる。