Σ の計算(展開が必要)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\Sigma$ の中が $(2k-1{)}^2$ のように固まっているときは、まず展開する。

$$(2k-1{)}^2=4k^2-4k+1$$

これで $\sum k^2,\sum k,\sum 1$ の $3$ つの公式に分解できた。

あとは代入と整理。共通因数 $n$ でくくってから通分すると、計算の見通しがよい。「展開 → 公式 → くくる」の三拍子だ。

① 展開する。

$$(2k-1{)}^2=4k^2-4k+1$$

② 項ごとに公式を使う。

$$\sum _{k=1}^n(4k^2-4k+1)=4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$$

③ 整理する。 $\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n$ を通分してまとめると

$$=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}=\frac{n(4n^2-1)}{3}$$

(これは $1^2+3^2+\cdots +(2n-1{)}^2$、奇数の平方の和にあたる。)

まとめ:$\Sigma$ の中がかっこの $2$ 乗なら、まず展開して $k^2,k,$ 定数の形に。$\Sigma 1=n$ を忘れないこと。結果は因数分解の形にまとめておく。

発展 — 一歩先へ。 答え $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ の分子には $(2n-1)(2n+1)=4n^2-1$ という「連続奇数の積」が現れている。$n=1$ で $1$、$n=2$ で $10$、$n=3$ で $35$ — ピラミッド状に球を積むときの総数(四角錘数の親戚)として、数え上げの世界にも顔を出す数列だ。

「全体から引く」設計は、$3$ の倍数の $2$ 乗の和、$4$ で割って $1$ 余る数の和など、等間隔に選んだ数の和すべてに通用する。公式は $\sum k,\sum k^2,\sum k^3$ の $3$ つしかなくても、置き換えと引き算で応用範囲は何倍にも広がる。

別解

「奇数の $2$ 乗の和」を、全部の $2$ 乗から偶数の $2$ 乗を引くという引き算で出す道もある。

$1^2+3^2+\cdots +(2n-1{)}^2$ は、$1$ から $2n$ までの全平方和から、偶数の分 $2^2+4^2+\cdots +(2n{)}^2$ を除いたものだ。

全体は公式の $n$ を $2n$ に置き換えて

$$\sum _{j=1}^{2n}{j}^2=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}$$

偶数の分は $(2k{)}^2=4k^2$ だから

$$\sum _{k=1}^n(2k{)}^2=4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

差をとって整理すると $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ — 展開ルートと同じ答え。

「求めたい和 $=$ 大きな和 $-$ いらない和」という補集合の発想は、数え上げの「余事象」と同じ精神だ。展開が面倒な和ほど、引き算の設計が効く。