根号を含む数列の和(有理化)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 各項は $\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$。分母に根号の和がある。

根号の和が分母にあるときは、有理化が定番の一手だ。

分母・分子に $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ を掛けると、分母が $1$ になり、項が $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ という差に化ける。

差の形になれば、隣どうしが打ち消し合う。有理化で分数を差に変えて相殺させる、部分分数の親戚の発想だ。

① 有理化する。 分母・分子に $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ をかける。分母は

$$(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=(k+1)-k=1$$

よって

$$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$$

② 和をとって打ち消し合わせる。

$$\sum _{k=1}^n(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots +(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$$

③ 両端だけ残る。

$$=\sqrt{n+1}-\sqrt{1}=\sqrt{n+1}-1$$

まとめ:根号の分数は「有理化で差の形に」変えるのがカギ。$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ が $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ になれば、あとは分数のときと同じ telescoping だ。

発展 — 一歩先へ。 各項 $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ は、関数 $\sqrt{x}$ が $x=k$ から $x=k+1$ へ進むときの増分だ。

増分を $k=1$ から $n$ まで足すと、途中がすべて相殺し、始点と終点の差 $\sqrt{n+1}-\sqrt{1}$ だけが残る。これは「増分を足し集めると全体の変化になる」という、積分の基本定理の離散版にあたる。

大きい $k$ では $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\approx \frac{1}{2\sqrt{k}}$ と小さくなる。項は $\frac{1}{\sqrt{k}}$ の速さで痩せるのに、和は $\sqrt{n+1}$ の勢いでいくらでも大きくなる。ゆっくり発散する数列の典型だ。

別解

別解 — 部分和を書き出して規則を予想する(苦手な人向けの実験ルート)。 有理化のうまい一手が浮かばなくても、和を数項ぶん実際に計算すれば規則が見えてくる。

第 $1$ 項から順に足していく。$S_1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\approx 0.41$、$S_2=S_1+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\approx 0.73$、$S_3\approx 1.00$。

この $0.41,0.73,1.00$ は、それぞれ $\sqrt{2}-1,\sqrt{3}-1,\sqrt{4}-1$ の値にそっくりだ。そこで $S_n=\sqrt{n+1}-1$ と予想する。

予想が正しいか、$1$ 項ぶん進めて確かめる。$S_n=\sqrt{n+1}-1$ に第 $n+1$ 項 $\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$ を足す。この項は $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$ に等しい。実際、両辺に $\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}$ を掛けると $(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})=(n+2)-(n+1)=1$ で確かめられる。よって

$$S_{n+1}=(\sqrt{n+1}-1)+(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})=\sqrt{n+2}-1.$$

$1$ 項進むごとに根号の中身が $1$ ずつ増えるだけだ。$S_1=\sqrt{2}-1$ から始まるので $S_n=\sqrt{n+1}-1$。項を書き並べて消す本解と同じ答え。「答えを数値から予想し、$1$ 手ぶんの整合性で裏づける」なら、うまい変形が見えなくてもたどり着ける。