部分分数の和(分母の差が2)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母が $k$ と $k+2$ の積。$2$ つの因数が $2$ だけ離れている。

こういう分数は $\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$ と差の形に分けられる。

差が $2$ だから、打ち消し合いは「$1$ つおき」に起こる。相殺の網が粗くなる。

その結果、両端に $2$ 項ずつ残る。差が $1$ のときは前後 $1$ 項ずつだが、ここは前 $2$ 項と後ろ $2$ 項が残る、と見抜くのが主題だ。

① 部分分数に分ける。 差 $(k+2)-k=2$ が前に出る。

$$\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2})$$

② 和を書き並べる。 $\frac{1}{k}$ と $\frac{1}{k+2}$ は $2$ つ離れているので、$1$ つおきに打ち消す。

$$\sum _{k=1}^n=\frac{1}{2}\left\{\right(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\left)\right\}$$

③ 残る項を集める。 前の $2$ 項 $\frac{1}{1},\frac{1}{2}$ と、後ろの $2$ 項 $-\frac{1}{n+1},-\frac{1}{n+2}$ が残る。

$$=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})$$

④ $1$ つにまとめる。 $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}=\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}$ を代入し通分すると

$$=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$$

まとめ:分母の差が $2$ の telescoping は、打ち消しが「$1$ つおき」に起こる。だから前 $2$ 項・後ろ $2$ 項が残る。差が $1$ のとき(両端 $1$ 項ずつ残る)との違いを押さえる。

発展 — 一歩先へ。 分母の差を $2$ から一般の $d$ に変えると、$\frac{1}{k(k+d)}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+d}\right)$ となる。

打ち消しは $d$ つおきになり、両端に $d$ 項ずつ残る。差が $2$ で前後 $2$ 項ずつ残ったのは、その $d=2$ の場合だ。

$n$ を限りなく大きくすると、後ろに残る $d$ 項は $0$ に近づく。和は $\frac{1}{d}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{d}\right)$ に収束する。差が $2$ なら $\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$ で、本問の答えが $n\to \infty$ で近づく値 $\frac{3}{4}$ と一致する。

別解

別解 — 調和数でまとめて引く(得意な人向けの視点)。 項を書き並べて消すかわりに、$2$ つの和のかたまりの引き算として処理する。

$\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$ までは同じ。ここで先頭からの逆数の和を $H_m=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{m}$ と書く。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+2}\right)=\frac{1}{2}\left(H_n-(H_{n+2}-H_2)\right).$$

$H_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$、そして $H_{n+2}-H_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$ だから

$$=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right).$$

通分すれば $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$ で、本解と同じ答え。項を $1$ つずつ消す作業を、調和数のかたまりどうしの差に置きかえたのがこのルートだ。