3つの積の部分分数の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ をそのまま足すのは無理。和がうまく求まる形にしたい。

こういう「積の逆数」は、差の形に化けることが多い。差にできれば、次々に打ち消し合う(telescoping)。

$\frac{1}{k(k+1)}$ と $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ の差を作ってみる。分子をそろえると、ちょうど $\frac{2}{k(k+1)(k+2)}$ が出る。

だから $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$。隣どうしが消えて両端だけ残る。

① 差の形にする。 $\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}$ だから

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$$

② 和をとる(telescoping)。 $b_k=\frac{1}{k(k+1)}$ とおくと、和は $\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(b_k-b_{k+1})$。隣どうしが消し合い、両端 $b_1$ と $b_{n+1}$ だけ残る。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(b_1-b_{n+1}\right)=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}$$

③ 整理する。

$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$$

まとめ:$3$ つの積の部分分数は「$2$ つずつの積の差」に分解して telescoping。差を作ると分子に $(k+2)-k=2$ が出るので、$\frac{1}{2}$ を掛けて調整。残るのは両端 $\frac{1}{1\cdot 2}$ と $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ の和が $\frac{1}{4}$ に収束するのは、$\frac{1}{k(k+1)\cdots (k+m)}$ が「$1$ つ短い積の逆数の差」に化ける一般則の $m=2$ の場合。$\int$ の部分積分に対応する「差分」の考えで、$\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+2}{2}\right)}$ 型はいつでも telescoping する。離散版の積分だ。

別解

別解 — きちんと部分分数に分ける(仕組みが見えるルート)。 「差の積を作る」を思いつかなくても、部分分数分解に持ち込めば機械的に差の形が出る。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2}$$

とおいて両辺に $k(k+1)(k+2)$ を掛け、$k=0,-1,-2$ を代入すると $A=\frac{1}{2}$、$B=-1$、$C=\frac{1}{2}$。つまり

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{k+2}.$$

これを $k=1$ から $n$ まで足すと、$\frac{1}{k+1}$ と前後の $\frac{1}{k},\frac{1}{k+2}$ が段違いに打ち消し合い、両端の $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1}$、$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$ と末尾だけ残って $\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$。

「差の積」で一気に出す本解と同じ。部分分数の係数 $\frac{1}{2},-1,\frac{1}{2}$ が「両端 $\frac{1}{2}$・真ん中 $-1$」と対称なのが telescoping の効く理由。$n\to \infty$ では $\frac{1}{4}$ に収束する。