(等差)×(等比)の和(一般)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 各項は (等差 $3k-2$)×(等比 $2^{k-1}$) の形。前の (等差)×(等比) と同じ顔をしている。

だから手も同じ。$S$ と公比倍の $2S$ を $1$ 段ずらして引く。

$S-2S$ を作ると係数の差が公差 $3$ でそろい、真ん中が等比数列の和になる。

係数がどう変わっても、公比倍のずらし引きで必ず解ける。型の普遍性を確かめる総仕上げだ。

① $S$ と $2S$ を書く。

$$S=1\cdot 1+4\cdot 2+7\cdot 2^2+\cdots +(3n-2)\cdot 2^{n-1}$$

$$2S=1\cdot 2+4\cdot 2^2+\cdots +(3n-5)\cdot 2^{n-1}+(3n-2)\cdot 2^n$$

② $S-2S$ を作る。 係数の差はすべて $3$。

$$S-2S=1+3\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +3\cdot 2^{n-1}-(3n-2)2^n$$

③ 真ん中を等比の和にする。 $2+2^2+\cdots +2^{n-1}=2^n-2$ なので、$3(2^n-2)$。

$$-S=1+3(2^n-2)-(3n-2)2^n=1+3\cdot 2^n-6-(3n-2)2^n=(5-3n)2^n-5$$

④ $S$ を求める。 両辺に $-1$ をかける。

$$S=(3n-5)\cdot 2^n+5$$

まとめ:公差や初項がちがっても、(等差)×(等比)は $S-rS$ で必ず解ける。係数の差が公差の値(ここは $3$)でそろい、真ん中が等比和になる。この型は手順を覚えてしまうのが得策だ。

発展 — 一歩先へ。 ここでは公比が $2$ なので $2^n$ が急伸し、和も $n\cdot 2^n$ の勢いで大きくなる。無限に足せば発散する。

ところが公比を $|r|<1$ に変えると事情が一変する。$(3k-2)r^{k-1}$ を無限に足しても、有限の値に収まる。等差と等比を掛けた「相乗数列」の無限和は、$r$ の分数式できれいに閉じる。

有限和で使う「$S-rS$ でそろえる」一手は、無限和では「$(1-r)$ を掛けて等比部分を消す」操作と同じだ。項数が有限か無限かで顔つきは変わるが、根っこの仕掛けは共通だ。

別解

別解 — 等比数列の和を微分して作る(得意な人向けの視点)。 ずらし引きのかわりに、各項を $2$ つの標準的な和に分け、片方を「等比の和の微分」で出す。

$(3k-2)2^{k-1}=3k\cdot 2^{k-1}-2\cdot 2^{k-1}$ と分けると、$S=3{\sum }_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}-2{\sum }_{k=1}^n{2}^{k-1}$。後半は等比の和で ${\sum }_{k=1}^n{2}^{k-1}=2^n-1$。

前半の $\sum k{x}^{k-1}$ は、等比の和 $g(x)={\sum }_{k=1}^n{x}^k=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}$ を $x$ で微分したものだ。商の微分で $g^{\prime }(x)$ を作って $x=2$ を入れると、$x-1=1$ で分母が消え

$$\sum _{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}=g^{\prime }(2)=(n-1)2^n+1.$$

よって $S=3\{(n-1)2^n+1\}-2(2^n-1)=(3n-5)2^n+5$。ずらし引きの本解と同じ答え。$\sum k{x}^{k-1}$ が等比の和の微分だと見抜くと、公比 $2$ では計算がとくに軽い。