3項間漸化式でチェビシェフ多項式(cos36°を求める)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2\cos n\theta$ という数列 $c_n$ には、隣どうしをつなぐ関係がある。積和の公式で $\cos (n+1)\theta +\cos (n-1)\theta =2\cos \theta \cos n\theta$。

これを $c_n$ で書けば $c_{n+1}=2\cos \theta \cdot c_n-c_{n-1}$ という3項間漸化式。$2\cos \theta$ を掛けて前を引くだけだ。

$c_0=2$、$c_1=2\cos \theta$ から回すと、$\cos n\theta$ が $\cos \theta$ の多項式で書ける(チェビシェフ多項式)。$5\theta =180^{\circ }$ となる $\theta =36^{\circ }$ を代入すれば、$\cos 36^{\circ }$ の方程式が立つ。

① 漸化式を示す。 積和公式より $\cos (n+1)\theta +\cos (n-1)\theta =2\cos \theta \cos n\theta$。両辺を $2$ 倍すると $2\cos (n+1)\theta =2\cos \theta \cdot 2\cos n\theta -2\cos (n-1)\theta$、すなわち $c_{n+1}=2\cos \theta c_n-c_{n-1}$。

② $\cos 5\theta$ を多項式にする。 $t=\cos \theta$ とおく。$c_0=2,c_1=2t$ から漸化式で $$c_2=2t\cdot 2t-2=4t^2-2,c_3=2t{c}_2-c_1=8t^3-6t,$$ $$c_4=2t{c}_3-c_2=16t^4-16t^2+2,c_5=2t{c}_4-c_3=32t^5-40t^3+10t.$$ $c_5=2\cos 5\theta$ だから $\cos 5\theta =16t^5-20t^3+5t=16{\cos }^5\theta -20{\cos }^3\theta +5\cos \theta$。

③ $\theta =36^{\circ }$ で解く。 $5\theta =180^{\circ }$ より $\cos 5\theta =-1$。$t=\cos 36^{\circ }$ とおくと $$16t^5-20t^3+5t=-1⟺16t^5-20t^3+5t+1=0.$$ $t=-1$ は解($\cos 180^{\circ }$ 側)なので $(t+1)$ で割ると $16t^4-16t^3-4t^2+4t+1=0$、これは $(4t^2-2t-1{)}^2=0$ と平方になる。よって $4t^2-2t-1=0$、$t=\frac{2\pm \sqrt{20}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$。$\cos 36^{\circ }>0$ だから $$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$$

まとめ $2\cos n\theta$ の3項間漸化式でチェビシェフ多項式を作り、$5\theta =180^{\circ }$ という“角の特別な関係”を代入して $\cos \theta$ の方程式に落とす。因数分解が平方になり $\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$。数列・三角・方程式の三重の融合。

発展 — 一歩先へ。 $c_n=2\cos n\theta$ を多項式で表したものがチェビシェフ多項式 $T_n$($\cos n\theta =T_n(\cos \theta )$)。$\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ に $\sqrt{5}$ が現れるのは、$5$ 等分の角が黄金比 $\phi =2\cos 36^{\circ }$ と結びつくから。正五角形の作図可能性の核心にある値だ。

別解

別解 — $\cos 36^{\circ }$ と $\cos 72^{\circ }$ の和と積で2次に落とす(得意な人向けの高い視点)。 $\alpha =\cos 36^{\circ }$、$\beta =\cos 72^{\circ }$ の2つだけに注目する。

和は、$36^{\circ }$ と $72^{\circ }$ の関係から $\alpha -\beta =\frac{1}{2}$(和積 $\cos 36^{\circ }-\cos 72^{\circ }=2\sin 54^{\circ }\sin 18^{\circ }$ を計算するか、$\beta =2{\alpha }^2-1$ を使う)。積は $\alpha \beta =\frac{1}{4}$($2$ 倍角と積和で出る)。

差 $\frac{1}{2}$・積 $\frac{1}{4}$ を満たす $\alpha ,\beta$ は

$$4u^2-2u-1=0⟹u=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}.$$

正で大きい方が $\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$、小さい方が $\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。

5次のチェビシェフ多項式(本解)を経由せず、$2$ 数の対称式だけで $\cos 36^{\circ }$ が出る。$\cos 36^{\circ }$ と黄金比が結びつくのも、この $\sqrt{5}$ の出現からだ。