和の極限を無理関数の定積分で(区分求積法)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ という形は、区分求積法の合図だ。

区間 $[0,1]$ を $n$ 等分し、各小区間で高さ $f\left(\frac{k}{n}\right)$ の短冊を足している。$n\to \infty$ で、これは定積分 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ に近づく。

ここでは $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。和の極限を積分に翻訳したら、あとは原始関数を思い出すだけだ。

① 定積分に直す。 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ とみて $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+(k/n{)}^2}}={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.$$

② 積分を計算する。 $\frac{d}{dx}\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ だから、原始関数は $\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$。よって $${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=[\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right){]}_0^1=\log (1+\sqrt{2})-\log 1=\log (1+\sqrt{2}).$$

まとめ $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ は迷わず定積分へ。無理関数 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ の積分は $\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$。数列の和・積分・対数がつながって $\log (1+\sqrt{2})$。

発展 — 一歩先へ。 ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ は、原点から傾き $1$ まで単位円…ではなく双曲線 $x^2-y^2=1$ 上を進む「双曲線角」に対応する。$\log (1+\sqrt{2})$ という値は ${\sinh }^{-1}1$ で、円の $\arcsin$ に対する双曲線版。円と双曲線が、また別の場所で対になっている。

別解

別解 — 原始関数 ${\sinh }^{-1}x$ を思い出す(積分を直接計算するルート)。 区分求積で ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ に直したあと、原始関数を書き下す。

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ の原始関数は $\log (x+\sqrt{1+x^2})$(逆双曲線関数 ${\sinh }^{-1}x$)。$x=\tan \theta$ の置換でも $x=\sinh t$ の置換でも導ける。

$${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\left[\log \right(x+\sqrt{1+x^2}){]}_0^1=\log (1+\sqrt{2})-\log 1=\log (1+\sqrt{2}).$$

区分求積で「和を積分に」翻訳するのが本問の主眼だが、翻訳した先の積分を実際に計算できてこそ値が出る。$\sqrt{1+x^2}$ 型の積分は $\log (x+\sqrt{1+x^2})$、と覚えておくと速い。