数学B / 数列

数列の最大項(隣接比と等号)

最難関編最大項隣接比

問題

数列 $a_{n} = n (\frac{4}{5})^{n}$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ )が最大となる $n$ をすべて求め、その最大値を求めよ。

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差を取るとべきの計算が濁る。全部の項が正なら、増減を調べる道具は差だけではないはず。比と1の大小の境目で「ちょうど等しい」が起きたら、最大は何か所になるか。

解答・解説

方針

各項が正なので、増減は隣どうしの比 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ と1の大小で判定できる。比が1になる $n$ がちょうど存在するため、最大が2か所に並ぶ — この等号を見落とさないことが核心。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 倍と $(\frac{4}{5})^{n}$ 倍のせめぎ合いで、初めは増えてやがて減る形が予想される。

各項が正の数列の増減は、隣接比 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ と1の大小で調べるのが定石だ。べきが約分されて、計算が圧倒的に軽くなる。

比が1より大きい間は増加、小さくなれば減少。そして比がちょうど1になる $n$ があれば、そこで隣どうしが同じ値になり、最大が2つ並ぶ。この等号の処理が本問の罠だ。

重要正項数列の増減は隣接比で:

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} > 1

で増加、

< 1

で減少、

= 1

なら隣どうしが同じ値(最大が並び得る)

① 隣接比を計算する。

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 1 ) ( \frac{4}{5} ) ^{n + 1}}{n ( \frac{4}{5} ) ^{n}} = \frac{4 ( n + 1 )}{5 n}$

② 1との大小を調べる。 $\frac{4 ( n + 1 )}{5 n}$ と $1$ の大小は $4 (n + 1)$ と $5 n$ の大小、つまり $4$ と $n$ の大小で決まる:

$n < 4$ のとき比 $> 1$ → $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$
$n = 4$ のとき比 $= 1$ → $a_{4} = a_{5}$
$n > 4$ のとき比 $< 1$ → $a_{5} > a_{6} > a_{7} > \dots$

③ 最大を確定する。 並べると $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} = a_{5} > a_{6} > \dots$ だから、最大となるのは $n = 4$ と $n = 5$ の2か所。最大値は

$a_{4} = 4 (\frac{4}{5})^{4} = 4 \cdot \frac{256}{625} = \frac{1024}{625}$

aₙ = n(4/5)ⁿ の値。n=4 と n=5 が同じ高さで並んで最大(赤)。比が1になる境目では最大が2つ並ぶ

まとめ: 差ではなく比 — べきを含む数列の増減調べの鉄則。そして比が1になる境目では最大が2つ並ぶ。「 $n = 4$ 」とだけ答えて等号の相方 $n = 5$ を落とすのが、この型でいちばん多い失点だ。

発展 — 一歩先へ。 一般に $a_{n} = n r^{n}$ ( $0 < r < 1$ )の増減の境目は、比 $= 1$ を解いた $n = \frac{r}{1 - r}$ 。この値がちょうど自然数になるとき(本問は $r = \frac{4}{5}$ で $n = 4$ )だけ最大が2つ並び、そうでなければ最大は1か所になる(たとえば $r = \frac{7}{10}$ なら境目は $\frac{7}{3}$ で、最大は $n = 3$ のみ)。「等号が起きるパラメータは特別」という感覚は、場合分けの見通しを一気によくする。

答

$n = 4, 5$ で最大、最大値 $\frac{1024}{625}$

別解

差をとって因数分解する(比が苦手な人へ)。 増減調べのもう1つの道具、隣接の差でも進める。共通因数 $(\frac{4}{5})^{n}$ でくくるのがコツだ:

$a_{n + 1} - a_{n} = (n + 1) (\frac{4}{5})^{n + 1} - n (\frac{4}{5})^{n} = (\frac{4}{5})^{n} {\frac{4 ( n + 1 )}{5} - n} = (\frac{4}{5})^{n} \cdot \frac{4 - n}{5}$

$(\frac{4}{5})^{n} > 0$ だから、差の符号は $4 - n$ の符号そのもの:

$n < 4$ で差は正(増加)
$n = 4$ で差は $0$ ( $a_{4} = a_{5}$ )
$n > 4$ で差は負(減少)

本解の比とまったく同じ結論に着く。「べきを含むから比」が定石だが、共通因数でくくれば差でもきれいに割れる。等号 $a_{4} = a_{5}$ が「差 $= 0$ 」として目に見えるのは、むしろ差ルートの長所だ。

ポイント

隣接比 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{4 ( n + 1 )}{5 n}$ と1を比較。
$n < 4$ で増加、 $n = 4$ で比1( $a_{4} = a_{5}$ )、 $n > 4$ で減少。
最大は $n = 4, 5$ 、値 $\frac{1024}{625}$ 。

よくある間違い

等号の相方を落として「 $n = 4$ のみ」と答える(この型でいちばん多い失点。比 $= 1$ ⟹ 隣が同じ値)。
$\frac{4 ( n + 1 )}{5 n}$ と $1$ の比較で分母を払うときの不等式の向きを誤る( $5 n > 0$ だから向きは保たれる)。
最大値の計算 $4 \cdot \frac{256}{625}$ を焦って $\frac{256}{625}$ のまま答える。