Σ の計算(積の形)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $k(k+1)$ は展開すれば $k^2+k$。$\sum k^2$ と $\sum k$ の公式で計算できる。

方針はそれで決まりだが、最後の整理に目標を持とう。$2$ つの公式はどちらも因数 $n(n+1)$ を含む。だから足した結果も $n(n+1)$ でくくれるはずだ。

「展開 → 公式 → 共通因数 $n(n+1)$ でくくる」。ゴールの形を先に見込んでおくと、通分・整理が迷子にならない。

① 展開して公式を使う。

$$\sum _{k=1}^{n}k(k+1)=\sum k^2+\sum k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$$

② 共通因数 $\frac{n(n+1)}{6}$ でくくる。 $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{3n(n+1)}{6}$。

$$=\frac{n(n+1)}{6}\{(2n+1)+3\}=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}=\frac{n(n+1)\cdot 2(n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

まとめ:$\Sigma k(k+1)$ は「連続 $3$ 数の積 ÷ $3$」という覚えやすい結果 $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$。展開 → 公式 → 共通因数でくくる、の流れで確実に出せる。

発展 — 一歩先へ。 答え $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ は「連続 $3$ 数の積の $3$ 分の $1$」。実は $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ が「連続 $2$ 数の積の $2$ 分の $1$」であることの、ひとつ上の階段になっている。連続積の和は、$1$ 段長い連続積を段数で割ったもの — この規則は何段でも続く。

組合せの記号で書くと $\sum _{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3}\right)$(ホッケースティックの恒等式)。数列の和と場合の数が、同じ式を別の言葉で語っている。

別解

公式を使わず、打ち消し合う差の形でこの和を一撃で出す方法がある。

連続 $2$ 数の積 $k(k+1)$ は、連続 $3$ 数の積の差で書ける。

$$k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}{3}$$

(右辺は $k(k+1)$ を共通因数にくくると $\frac{k(k+1)\{(k+2)-(k-1)\}}{3}=\frac{k(k+1)\cdot 3}{3}$ で確かに左辺に戻る。)

この形で $k=1$ から $n$ まで足すと、$\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}$ の直前の $\frac{0\cdot 1\cdot 2}{3}$ から始まって、となりどうしが全部打ち消し、最後の項だけが残る。

$$\sum _{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

部分分数の望遠鏡和の「積バージョン」だ。連続整数の積の和は、$1$ つ長い連続積の差に直すと必ずこの形で潰れる — $\sum k(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ も同じ一手で出る。