等差数列の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 等差数列の和には、便利な公式がある。

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{(\text{項数})\times (\text{初項}+\text{末項})}{2}$$

必要なのは「項数」「初項」「末項」の $3$ つ。

末項(第 $10$ 項)は、前問で求めた。

$$a_{10}=4\times 10-1=39$$

代入する。

$$S_{10}=\frac{10\times (3+39)}{2}=\frac{10\times 42}{2}=210$$

この公式、どこかで見た形ではないだろうか。

$$\frac{(\text{上底}+\text{下底})\times \text{高さ}}{2}$$

台形の面積公式とそっくりだ。偶然ではない(別解で説明する)。

「初項と末項を足して、項数を掛けて、$2$ で割る」 — これだけである。

① 末項を求める。 $a_{10}=4\times 10-1=39$。

② 和の公式に代入する。 初項 $3$、末項 $39$、項数 $10$。

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=5\times 42=210$$

まとめ:等差数列の和は「(初項 + 末項)÷ 2 × 項数」= 平均 × 個数。末項が分からないときは $\frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}$ の形を使う。

発展 — 一歩先へ。 等差数列の和 $S_n$ を、$n$ の式で書くとどうなるか。

$$S_n=\frac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$$

$n$ の $2$ 次式!(定数項がないのが特徴だ。)

この問題なら

$$S_n=\frac{4}{2}{n}^2+\left(3-2\right)n=2n^2+n$$

確かめる: $S_{10}=2\times 100+10=210$ ✓

「等差数列($1$ 次式)の和は、$2$ 次式になる」

これは、積分と同じ構造だ。

$$\int (\text{1 次式})dx=(\text{2 次式})$$

和をとると、次数が $1$ 上がる — 積分と同じ ✓

一般に

この対応が、$\Sigma$ の公式の背景にある。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}(\text{1 次の和 → 2 次})$$

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(\text{2 次の和 → 3 次})$$

そして、この逆も使える。

「$S_n$ から $a_n$ を求める」 ときは、差をとる。

$$a_n=S_n-S_{n-1}(n\geqq 2)$$

微分と同じ!

$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}f(t)dt=f(x)⟷S_n-S_{n-1}=a_n$$

「和の階差は、元の数列に戻る」 — 微積分学の基本定理の、離散版である。

ただし、$n=1$ のときは別扱い($S_0$ が定義されないので)。この例外処理が、数列の問題で頻出の罠になる。

$S_n$ と $a_n$ の関係は、積分と微分の関係そのもの。 数列と微積分は、同じ構造を共有している。

別解

この公式は、$9$ 歳のガウスが発見した(という伝説がある)。 その方法を追体験しよう。

ガウスの逸話。

$1780$ 年代、小学校の教師が「$1$ から $100$ まで足しなさい」と課題を出した(時間稼ぎのつもりだった)。

$9$ 歳のガウスは、数秒で答えを出した。$5050$ である。

彼の方法。

和を、$2$ 回書く。$1$ 回目は普通に、$2$ 回目は逆順に。

$$S=1+2+3+\cdots +98+99+100$$ $$S=100+99+98+\cdots +3+2+1$$

縦に足す。

$$2S=\underset{100\text{個}}{\underbrace{101+101+101+\cdots +101}}$$

どのペアも、和が $101$!

$$2S=101\times 100=10100⟹S=5050$$

この問題でも、同じことをやってみよう。

$$S_{10}=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39$$ $$S_{10}=39+35+31+27+23+19+15+11+7+3$$

縦に足すと

$$2S_{10}=\underset{10\text{個}}{\underbrace{42+42+\cdots +42}}=42\times 10=420$$

$$S_{10}=210✓$$

公式と同じ答え。

なぜ、どのペアも同じ和になるのか。

片方は $4$ ずつ増え、もう片方は $4$ ずつ減る — 増減が打ち消し合うからだ。

$$(3+39),(7+35),(11+31),\dots \text{すべて }42$$

これが公式の証明である。

$$2S_n=n\times (a_1+a_n)⟹S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

そして、台形との関係。

数列を、棒グラフで描いてみよう。 高さ $3,7,11,\dots ,39$ の棒が、$10$ 本並ぶ。

棒の先端は、直線上に並んでいる(等差数列だから)。

この棒グラフの"面積"(全部の棒の高さの和)が、$S_{10}$ だ。

そして、棒の集まりは、ほぼ台形の形をしている。

• 上底: 最初の棒の高さ $3$
• 下底: 最後の棒の高さ $39$
• 高さ(横幅): 棒の本数 $10$

$$\frac{(3+39)\times 10}{2}=210$$

台形の面積公式 ✓

「等差数列の和 $=$ 台形の面積」 — 図形と数列が、$1$ つの公式で結ばれている。

ガウスの発想は「対称性を使う」ことだった。 逆順に並べて足す — わずか $1$ 行の工夫で、$100$ 個の足し算が $1$ 回の掛け算になった。

「うまい見方を $1$ つ見つければ、計算は消える」 — これが数学の本質である。