群数列

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 群数列は「区切りを外せばただの自然数の列」。だから群の質問は、通し番号の質問に翻訳できる。

「第 $5$ 群の最初の項」は、通し番号でいうと「第 $4$ 群までの項数 $+1$ 番目」。

各群の項数は $1,2,3,\dots$ だから、第 $4$ 群までの総項数は $1+2+3+4=10$。よって第 $5$ 群の最初は $11$ 番目の自然数、すなわち $11$。「群の境目 $=$ 項数の累積和」— 群数列のすべてがこの $1$ 行に集約される。

① 前の群までの総項数を求める。 第 $n$ 群は $n$ 個なので、第 $1$〜第 $4$ 群の項数は

$$1+2+3+4=10\text{(個)}$$

② 第 $5$ 群の最初の位置を出す。 第 $5$ 群の最初は、通算で $10+1=11$ 番目の自然数。

③ その値を求める。 この数列はもとの自然数そのものなので、$11$ 番目の自然数は $11$。

$$\text{第 }5\text{ 群の最初の項}=11$$

(一般に第 $n$ 群の最初は $\frac{(n-1)n}{2}+1$ 番目。$n=5$ で $\frac{4\cdot 5}{2}+1=11$。)

まとめ:群数列のコツは「群を取り払って、通算で何番目かを数える」。第 $n$ 群の最初は、前の群までの項数 $\frac{(n-1)n}{2}$ に $1$ を足した位置。位置さえ分かれば値が出る。

発展 — 一歩先へ。 第 $n$ 群の最初の項 $\frac{n(n-1)}{2}+1$ と最後の項 $\frac{n(n+1)}{2}$(三角数)で群を挟むと、群数列のあらゆる問いに答えられる。「第 $n$ 群の和」なら、初項と末項が分かる等差数列の和として $\frac{n(n^2+1)}{2}$ — これは魔方陣の $1$ 列の和としても知られる値だ。

もとの数列が自然数でなく奇数列や等比数列でも、「通し番号に翻訳 → 累積項数で群の境目を特定」という二段構えは変わらない。群数列は新しい公式の単元ではなく、和の公式の運用問題である。

別解

「第 $5$ 群」に限らず、第 $n$ 群の最初の項の一般式を先に作ってしまう手がある。

第 $n$ 群の最初の項は、第 $n-1$ 群までの項数 $+1$ 番目。項数の合計は等差数列の和で

$$1+2+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$

だから

$$(\text{第}n\text{群の最初の項})=\frac{n(n-1)}{2}+1$$

$n=5$ を代入して $\frac{5\cdot 4}{2}+1=11$。

一般式を持つ強みは検算と拡張にある。$n=1,2,3$ で $1,2,4$ — 実際の区切り($1|2,3|4,\dots$)と一致。さらに「第 $100$ 群の最初は?」にも「$4951$」と即答できるし、「$2026$ は第何群?」という逆向きの問いにも $\frac{n(n-1)}{2}+1\leqq 2026$ を解けば答えられる。個別の値でなく式を作る — 群数列の応用問題への備えになる。