ガウス記号の和(値ごとの群れ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $[\sqrt{k}]$ は、$k$ が平方数に達するたびに1増える階段状の量だ。

こういう和は $k$ の順ではなく、同じ値をとる $k$ の群れごとに「(値)×(個数)」で足すのが正しい向き。値が $m$ になるのは $m^2\le k<(m+1{)}^2$ のときで、個数は $(m+1{)}^2-m^2=2m+1$ 個ある。

ただし上限 $k=100$ では、$m=10$ の群れが始まった直後に切れる。端の群れだけ別扱いする。

① 群れの構造。 $m=1,2,\dots ,9$ の群れは丸ごと入り、それぞれ $2m+1$ 個。$m=10$ は $k=100$ の1個だけ($k=101$ 以降は範囲外)。個数の検算: ${\sum }_{m=1}^9(2m+1)+1=(3+5+\cdots +19)+1=99+1=100$ でちょうど100個。

② 群れごとに足す。

$$S=\sum _{m=1}^{9}m(2m+1)+10\cdot 1=2\sum _{m=1}^9{m}^2+\sum _{m=1}^{9}m+10$$

$\sum m^2=\frac{9\cdot 10\cdot 19}{6}=285$、$\sum m=45$ だから

$$S=2\cdot 285+45+10=570+45+10=625$$

まとめ: 「$k$ で足す」を「値 $m$ で足す」に入れ替える — 足す順番の交換が急所。群れの幅 $2m+1$(平方数の間隔)と、端の群れの切れ目の2点を押さえれば、ガウス記号の和は等差・等平方の和に翻訳される。

発展 — 一歩先へ。 交換ルートの式 ${\sum }_{k\le N}[\sqrt{k}]={\sum }_{m^2\le N}(N-m^2+1)$ は、「階段の和=長方形領域の格子点の個数」という見方そのもの。この格子点の数え方は、双曲線の下の格子点(約数の個数の和)など、ガウス記号がらみの和の万能工具になる。

別解

数える向きを交換する(端の場合分けが消える)。 $[\sqrt{k}]$ の正体は「$k$ 以下の平方数の個数」、すなわち

$$[\sqrt{k}]=\#\{m\ge 1:m^2\le k\}$$

だから和は、条件 $m^2\le k\le 100$ を満たす組 $(m,k)$ の総数。これを $k$ ごとでなく $m$ ごとに数え直すと、$m$ を固定したとき $k$ は $m^2$ から $100$ までの $101-m^2$ 個:

$$S=\sum _{m=1}^{10}(101-m^2)=101\cdot 10-\sum _{m=1}^{10}{m}^2=1010-385=625$$

本解で必要だった「端の群れ($m=10$ が1個だけ)の別扱い」が、この向きでは自動的に処理される($m=10$ のとき $101-100=1$ 個と式が勝手に数える)。

群れで数える(本解)と、向きを交換する(本ルート)。同じ二重数えの表を縦に読むか横に読むかの違いで、場合分けの少ない側を選べるのが交換の強みだ。