ニュートン法の数列の極限(単調・有界とはさみうち)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 漸化式 $a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)$ は「$a_n$ と $\frac{2}{a_n}$ の平均」。もし収束すれば、極限 $\alpha$ は $\alpha =\frac{1}{2}\left(\alpha +\frac{2}{\alpha }\right)$ を満たし、これを解くと $\alpha =\sqrt{2}$。

だが「収束すれば」を保証しないと極限を語れない。そこで単調性と有界性を示す。

相加相乗平均から各項は $\sqrt{2}$ 以上(下に有界)。そこから $a_{n+1}\le a_n$(単調減少)が従う。減少して下に有界な列は必ず収束する — この2本立てが本問の背骨だ。

① 下に有界($a_n\ge \sqrt{2}$)。 $a_1=2>0$ で、漸化式より各項は正。相加相乗から、$n\ge 1$ で $$a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)\ge \sqrt{2}.$$ よって $n\ge 2$ で $a_n\ge \sqrt{2}$($a_1=2\ge \sqrt{2}$ も成立)。

② 単調減少。 $a_n\ge \sqrt{2}$ のとき $\frac{2}{a_n}\le \sqrt{2}\le a_n$ だから $$a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)\le \frac{1}{2}(a_n+a_n)=a_n.$$ よって $\{a_n\}$ は単調減少。

③ 極限を求める。 収束するので極限を $\alpha (\ge \sqrt{2}>0)$ とおくと、漸化式で $n\to \infty$ として $$\alpha =\frac{1}{2}\left(\alpha +\frac{2}{\alpha }\right)⟹\alpha =\frac{2}{\alpha }⟹{\alpha }^2=2⟹\alpha =\sqrt{2}.$$

まとめ 漸化式の極限は「まず存在(有界＋単調)を保証→不動点で値を確定」。相加相乗が下界 $\sqrt{2}$ を、そこから単調減少が従い、極限は $\sqrt{2}$。数列の収束定理と極限操作の融合。実際 $a_2=1.5,a_3\approx 1.4167$ と急速に $\sqrt{2}$ に近づく。

発展 — 一歩先へ。 この漸化式は、$f(x)=x^2-2$ にニュートン法 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$ を当てたものそのもの。二次収束のおかげで、電卓やコンピュータの平方根計算は数回の反復で必要桁に達する。$\sqrt{A}$ 一般なら $a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{A}{a_n}\right)$ で同じ速さで求まる。

別解

別解 — 誤差の2乗で「収束の速さ」まで見る(得意な人向けの高い視点)。 極限 $\sqrt{2}$ からのずれ $e_n=a_n-\sqrt{2}$ を追う。漸化式に代入して整理すると

$$e_{n+1}=a_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{(a_n-\sqrt{2}{)}^2}{2a_n}=\frac{e_n^2}{2a_n}.$$

誤差が「前の誤差の2乗」に比例する。これは二次収束といい、正しい桁数が毎回およそ2倍になる猛烈な速さだ。

実際 $a_1=2$、$a_2=1.5$、$a_3\approx 1.41667$、$a_4\approx 1.41421569$ で、$4$ 項目ですでに $\sqrt{2}=1.41421356\cdots$ と小数 $5$ 桁一致、$5$ 項目で $15$ 桁近く合う。

「収束するか」だけでなく「どれくらい速いか」まで見ると、この漸化式が平方根計算のアルゴリズム(ニュートン法/バビロニア法)として現役で使われる理由が分かる。