1のべき乗根と余弦の和(数列の和と複素数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 角が等間隔に並ぶ余弦の和には、1のべき乗根の和という見方が効く。

$1$ の $(2n+1)$ 乗根をすべて足すと $0$(和が消える)。その実部を取れば、$\cos \frac{2k\pi }{2n+1}$ を $k=0$ から $2n$ まで足したものが $0$。

$k=0$ の項は $1$。残りは $k$ と $2n+1-k$ が同じ余弦値をもつ(共役の対)ので、$k=1,\dots ,n$ の和のちょうど2倍。$1+2S=0$ から $S=-\frac{1}{2}$ が出る。

① 実部の総和は $0$。 $1+\zeta +\cdots +{\zeta }^{2n}=0$ の実部をとると $$\sum _{k=0}^{2n}\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=0.$$

② 対称性でまとめる。 $\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=\cos \frac{2(2n+1-k)\pi }{2n+1}$(偏角が符号違いで余弦は等しい)だから、$k=1,\dots ,2n$ は $(k,2n+1-k)$ の組で同じ値が $2$ 回ずつ現れる。よって $$\sum _{k=1}^{2n}\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=2\sum _{k=1}^n\cos \frac{2k\pi }{2n+1}.$$ ③ 値を確定する。 ①で $k=0$ の項 $\cos 0=1$ を分けると $1+\sum _{k=1}^{2n}\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=0$。②を代入して $$1+2\sum _{k=1}^n\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=0⟹\sum _{k=1}^n\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=-\frac{1}{2}.$$

まとめ 余弦の和は“$1$ のべき乗根の総和 $=0$”の実部として捉えるのが急所。$k=0$ の $1$ を除き、$\cos$ の左右対称で半分にすると、値は $n$ によらず $-\frac{1}{2}$。複素数(単位円上の点)と数列の和・三角の融合。

発展 — 一歩先へ。 同じ図形的事実の虚部から $\sum _{k=1}^{2n}\sin \frac{2k\pi }{2n+1}=0$(正弦の和)も出る。正 $(2n+1)$ 角形の頂点ベクトルの和が零ベクトル、という1つの事実が、余弦の和 $-\frac{1}{2}$ と正弦の和 $0$ を同時に生んでいる。

別解

別解 — 正 $(2n+1)$ 角形の頂点ベクトルの和が $0$(図形で納得するルート)。 単位円上に、$1$ の $(2n+1)$ 乗根を頂点とする正 $(2n+1)$ 角形を描く。各頂点を指す矢印(単位ベクトル)を全部足すと、対称性から零ベクトルになる。

零ベクトルなら、$x$ 成分($=$ 余弦)の合計も $y$ 成分($=$ 正弦)の合計も $0$。とくに

$$\sum _{k=0}^{2n}\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=0.$$

$k=0$ の頂点は $(1,0)$ で余弦 $1$。残りの $2n$ 個は、$x$ 軸について上下対称なペア($k$ と $2n+1-k$)に分かれ、同じ余弦値を2回ずつ与える。だから

$$1+2\sum _{k=1}^n\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=0⟹\sum _{k=1}^n\cos \frac{2k\pi }{2n+1}=-\frac{1}{2}.$$

複素数の等比和(本解)を、正多角形の「重心が中心」という図形的事実で言い換えた。矢印を足すと真ん中に戻る、という絵が答えの $-\frac{1}{2}$ を支えている。