等比数列の和(公比の場合分け)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 初項 $1$、公比 $x$ の等比数列の和 — 公式一発に見えるが、罠がひとつある。

等比の和の公式 $\frac{x^n-1}{x-1}$ は、分母に $x-1$ がいる。$x=1$ だと分母が $0$ になって、公式そのものが使えない。

だから $x=1$ と $x\ne 1$ で場合分けする。$x=1$ のときは全項が $1$ だから、和は単純に $n$。「文字の公比を見たら、まず $1$ かどうかを疑う」— 等比数列でいちばん落としやすい急所だ。

初項 $1$、公比 $x$、項数 $n$ の等比数列の和。

① $x=1$ のとき。 すべての項が $1^{k-1}=1$。$n$ 個の $1$ を足す。

$$\sum _{k=1}^{n}1=n$$

② $x\ne 1$ のとき。 公式が使える。

$$\sum _{k=1}^n{x}^{k-1}=\frac{x^n-1}{x-1}$$

まとめ:公比に文字が入ったら、必ず $r=1$ の場合を別に考える。公式の分母 $x-1$ が $0$ になるからだ。$x=1$ のときは「$1$ を $n$ 個」で和は $n$。この場合分けが答案の完成度を決める。

発展 — 一歩先へ。 $x=1$ を特別扱いしたが、実は $\frac{x^n-1}{x-1}$ は $x\to 1$ の極限でちゃんと $n$ に近づく(分子も分母も $0$ に向かうが、比は $n$ に落ち着く)。場合分けの $2$ つの答えは、断絶しているのではなく連続につながっている — 数IIIの極限を学ぶと、この風景が見えるようになる。

また $|x|<1$ なら、$n$ を限りなく大きくすると $x^n\to 0$ で、和は $\frac{1}{1-x}$ に近づく。無限等比級数の公式の入り口も、この $1$ 問の中にある。

別解

この和の公式、実は因数分解の公式の「読み替え」だ。

よく知っている因数分解

$$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$$

の右側のカッコが、いま求めたい和 $S$ そのもの。つまり

$$(x-1)S=x^n-1$$

$x\ne 1$ なら $x-1$ で割って $S=\frac{x^n-1}{x-1}$。$x=1$ のときは両辺が $0=0$ となって $S$ の情報が消える — 割り算ができない理由が、因数分解の目にははっきり見える。

等比の和の公式を忘れても、$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ の親戚だと思い出せれば、その場で復元できる。「和の公式」と「因数分解の公式」が同じものの表裏だと知っておくと、記憶が二重に強くなる。