数学B / 数列

階差数列

★★ 標準階差数列

問題

数列 ${a_{n}}$ が $a_{1} = 1$ で、階差数列(となり合う項の差)が $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 1$ で与えられている。一般項 $a_{n}$ を求めよ。

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階差から一般項に戻すには、初項に階差を積み上げる。何個目まで足すか(和の上端)が要注意ポイント — 第 $n$ 項に着くまでに、差はいくつあるだろう。

解答・解説

方針

階差 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ が分かるとき、 $n ≧ 2$ では $a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 b_{k}$ 。和の上端が $n - 1$ であることに注意。最後に $n = 1$ でも成り立つか確認する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分かっているのは「初項」と「となりとの差」。差を積み上げれば、どの項にもたどり着ける。

$a_{n}$ は、 $a_{1}$ に差 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n - 1}$ を順に足したものだ。

$a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 (2 k + 1) (n ≧ 2)$

注意点は $2$ つ。和の上端は $n$ でなく $n - 1$ (差は $n - 1$ 個しかない)。そして、この式は $n ≧ 2$ で作ったものだから、最後に $n = 1$ でも成り立つかを確認する。

公式階差数列

b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

のとき、

n ≧ 2

で

a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 b_{k}

① 公式にあてはめる( $n ≧ 2$ )。 階差は $b_{k} = 2 k + 1$ 。和の上端は $n - 1$ 。

$a_{n} = 1 + k = 1 \sum n - 1 (2 k + 1)$

② 和を計算する。 $k = 1 \sum n - 1 (2 k + 1) = 2 \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} + (n - 1) = n (n - 1) + (n - 1) = (n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1$ 。

$a_{n} = 1 + (n^{2} - 1) = n^{2}$

③ $n = 1$ を確認する。 $a_{1} = 1^{2} = 1$ となり、与えられた $a_{1} = 1$ と一致。よってすべての $n$ で成り立つ。

$a_{n} = n^{2}$

まとめ:階差が分かれば「初項 + 階差の和」で一般項が出る。和の上端が $n - 1$ (項の差は $n - 1$ 個)なのが最重要。最後に $n = 1$ でも合うか確認する習慣をつける。

発展 — 一歩先へ。 「 $1$ から始めて奇数を足すと平方数になる」は、図で見ると美しい。 $n \times n$ の正方形に、L 字型のタイル( $2 n + 1$ 個)を貼り足すと $(n + 1) \times (n + 1)$ の正方形になる — 古代ギリシャで「グノーモン」と呼ばれた図形的事実が、この問題の正体だ。

一般に、階差が $n$ の $1$ 次式なら元の数列は $2$ 次式、階差が $2$ 次なら元は $3$ 次。微分と積分の関係( $1$ 回積分すると次数が $1$ 上がる)の離散版が、階差数列と和の関係になっている。

答

$a_{n} = n^{2}$

別解

公式に入る前に、数列を数項書き出してみる — これだけで答えが見えてしまう。

$a_{1} = 1$ 。差は $3, 5, 7, \dots$ と奇数が続くから

$1, 1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 9 + 7 = 16, \dots$

$1, 4, 9, 16$ — 平方数だ。 $a_{n} = n^{2}$ と予想できる。

予想が本当に正しいかは、階差に戻して確かめる。 $a_{n} = n^{2}$ なら

$a_{n + 1} - a_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$

与えられた階差と完全に一致し、初項 $a_{1} = 1^{2} = 1$ も合う。階差と初項が一致すれば数列は $1$ 通りに決まるから、これで確定だ。

「書き出す → 予想する → 条件に戻して確かめる」は、公式ルートの検算にも、公式を忘れたときの非常口にもなる。

ポイント

$a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 b_{k}$ ( $n ≧ 2$ )。上端は $n - 1$ 。
求めた式が $n = 1$ でも成り立つか確認。

よくある間違い

和の上端を $n$ にしてしまう(差は $a_{1}$ から $a_{n}$ まで $n - 1$ 個)
$n ≧ 2$ で導いた式を $n = 1$ で確認せずに答える
$\sum_{k = 1}^{n - 1} (2 k + 1)$ の計算で、公式の $n$ を $n - 1$ に置き換え忘れる